D=1k1=k2-2k-3=(k+1)k-3)=0 得k=-1或k=3 例3:证三个点(x12y)1=1,2,3在平面的一条直线上的必要条 件是 y 证:设直线为x+ay+b=0,由条件:点(x1,y)在直线上则有: Ix, +av,+6.1=0 lx2+ay2+b.1=0 lx3+ay2+b.1=0 把(1,ab)看做以=122,3为变量的齐次方程组 +y122+ x21+y2+231=0 x321+y322+23:1=0 的一个非零解,故有系数行列式为0,即 y
25 2 3 ( 1)( 3) 0 3 1 1 1 1 1 1 2 = − − = + − = − − = k k k k k k D 得 k = −1 或 k = 3 例 3：证三个点 (xi , yi ), i = 1, 2, 3 在平面的一条直线上的必要条 件是 0. 1 1 1 3 3 2 2 1 1 = x y x y x y 证：设直线为 x + ay +b = 0 ，由条件：点 ( , ) i i x y 在直线上则有： + + = + + = + + = 1 .1 0 1 .1 0 1 .1 0 3 3 2 2 1 1 x ay b x ay b x ay b 把 (1,a,b) 看做以 1 2 3 z ,z ,z 为变量的齐次方程组 + + = + + = + + = 1 0 1 0 1 0 3 1 3 2 3 2 1 2 2 3 1 1 1 2 3 x z y z z x z y z z x z y z z 的一个非零解，故有系数行列式为 0，即 0. 1 1 1 3 3 2 2 1 1 = x y x y x y
例4:设平面三不同直线 ax+2by+3c=0 bx+2cy+3a=0…12 cx+2ay+3b=0…l 交一点(x0,y),证a+b+c=0。 证:交点(x,y)满足 axo+2byo+3c=0 bxo +2cyo +3a=0 Cxo+ 2ayo +36=0 把(x,y0,1)看做以x,y,z为变量的齐次方程组 ax+2by+3c=0 bx +2cy+3az=0 cx+2ay+36z=0 的一组非零解,则上方程组系数行列式为0,即 a 26 3c a b c b 2c 3a=66 c 2a 3b c a b -6(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac) 3(a+b+c)(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2)=0 因a,b,c不会都相等,故a+b+c=0
26 例 4：设平面三不同直线 + + = + + = + + = 3 2 1 2 3 0 2 3 0 2 3 0 cx ay b l bx cy a l ax by c l 交一点 ( , ) 0 0 x y ，证 a +b + c = 0。 证：交点 ( , ) 0 0 x y 满足 + + = + + = + + = 2 3 0 2 3 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 cx ay b bx cy a ax by c 把 ( , ,1) 0 0 x y 看做以 x, y, z 为变量的齐次方程组 + + = + + = + + = 2 3 0 2 3 0 2 3 0 cx ay bz bx cy az ax by cz 的一组非零解，则上方程组系数行列式为 0，即 c a b b c a a b c c a b b c a a b c 6 2 3 2 3 2 3 = 6( )( ) 2 2 2 = − a + b + c a + b + c − ab −bc − ac 3( )(( ) ( ) ( ) ) 0 2 2 2 = − a + b + c a −b + a − c + b − c = 因 a, b, c 不会都相等，故 a +b + c = 0
第二章矩阵运算 §2.1矩阵的概念 §2.2矩阵的线性运算及乘法运算 [学习要求]:1)理解矩阵的定义。 2)掌握矩阵的加,数乘及乘法运算。 3)注意矩阵乘法与数的运算律的异同处。 、矩阵的定义 定义m个数排成m行n列的一个数表,记为 称为m×n矩阵,也可记为 A=(an)m。 矩阵是一个表,也是一个线性变换(函数),而行列式是一个数 矩阵广泛应用于自然科学各领域。在数学方面应用于计算数学,概率 统计,微分方程,几何图形的变换,如投影,镜象,旋转变换等等; 在电学方面:如线性电路理论,自动控制,网络,编码理论等;在经 济管理方面,如线性规划,优化运筹等等(见书上的例子) 例:消耗矩阵 国民经济的n个部门组成一个经济系统,各部门既是生产者,又
27 第二章 矩阵运算 §2.1 矩阵的概念 §2.2 矩阵的线性运算及乘法运算 [学习要求]：1）理解矩阵的定义。 2）掌握矩阵的加，数乘及乘法运算。 3）注意矩阵乘法与数的运算律的异同处。 一、矩阵的定义 定义 1 mn 个数排成 m 行 n 列的一个数表，记为 = m m mn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 A 称为 m n 矩阵，也可记为 = aij mn A ( ) 。 矩阵是一个表，也是一个线性变换（函数），而行列式是一个数。 矩阵广泛应用于自然科学各领域。在数学方面应用于计算数学，概率 统计，微分方程，几何图形的变换，如投影，镜象，旋转变换等等； 在电学方面：如线性电路理论，自动控制，网络，编码理论等；在经 济管理方面，如线性规划，优化运筹等等（见书上的例子）。 例：消耗矩阵 国民经济的 n 个部门组成一个经济系统，各部门既是生产者，又
是消耗者。设c表示第j个部门生产的单位产值需消耗第个部门产 值数,称c为第j个部门对第i个部门的直接消耗系数(cn≥0)。为简 单起见令n=3,如煤碳部门,电力部门,铁路运输部门,它们的关系 如下表 消耗系数部门 消耗部门 部门 煤碳 电力 铁运 煤碳 0.65 0.55 生产 电力 0.25 0.05 0.10 部门 铁运 0.25 0.05 00.650 矩阵C=|025005010 0.250.050 称为消耗矩阵。(简单的投入产出数学模型) 例三阶魔方及四阶魔方 16··3··2··13 5··10·11·8 A=3…57,A 9··6··7·612 8··1··6 4··15··14·1 矩阵的加,数乘运算 两矩阵同型:A与B的行数,列数分别相等。 两矩阵相等:A=B◇a=b〃j=,2,…,n nxnn×n
28 是消耗者。设 ij c 表示第 j 个部门生产的单位产值需消耗第 i 个部门产 值数，称 ij c 为第 j 个部门对第 i 个部门的直接消耗系数 ( 0) ij c 。为简 单起见令 n = 3 ，如煤碳部门，电力部门，铁路运输部门，它们的关系 如下表： 消耗系数 部门 部门 消 耗 部 门 煤碳 电力 铁运 生产 部门 煤碳 0 0.65 0.55 电力 0.25 0.05 0.10 铁运 0.25 0.05 0 矩阵 = 0.25 0.05 0 0.25 0.05 0.10 0 0.65 0.55 C 称为消耗矩阵。（简单的投入产出数学模型） 例 三阶魔方及四阶魔方 = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 ••• ••• ••• ••• ••• ••• A ， = 4 15 14 1 9 6 7 12 5 10 11 8 16 3 2 13 ••• ••• •••• ••• •••• •••• ••• ••• •••• ••• ••• •••• A 二、矩阵的加，数乘运算 两矩阵同型： mn A 与 mn B 的行数，列数分别相等。 两矩阵相等： ij ij i j n m n m n = = . , =1, 2, , A B a b
b1b12 bn bi b 2 b2 B b 定义2]两矩阵加法: a1+b1a12+b2 ain+bun C=A+B=a21+b21a2+b2 +6 a, +b +6 +6 定义3|数乘矩阵 kc kc ka ka kc kay kA= 加,数乘(称为线性运算)满足下列运算律: ①加法交换律:A+B=B+A ②加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C) ③0矩阵:+0=A ④负矩阵:A+B=0,则B=-A。 ⑤恒等性:1·A=A ⑥数结合律 (k)A=k(lA)。 ⑦分配律:k(A+B)=kA+kB
29 = = m m mn n n m m mn n n b b b b b b b b b a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 1 2 21 22 2 11 12 1 A , B 。 定义 2 两矩阵加法： + + + + + + + + + = + = m m m m mn mn n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b 1 1 2 2 21 21 22 22 2 2 11 11 12 12 1 1 C A B 。 定义 3 数乘矩阵 = m m mn n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka k 1 2 21 22 2 11 12 1 A 加，数乘（称为线性运算）满足下列运算律： ①加法交换律： A +B = B+ A ②加法结合律： (A +B) +C = A + (B+C) ③ 0 矩阵： A + 0 = A ④负矩阵： A + B = 0 ，则 B = −A。 ⑤恒等性： 1A = A。 ⑥数结合律： (kl)A = k(lA)。 ⑦分配律： k(A +B) = kA + kB