线性代数考研模拟_考研模拟

考研模拟

考 研 模 拟

主要掌握的内容提要 ∫A=j 掌握行列式计算及开展定理:∑aA=10,≠ 求A的秩 判别A的n个列(行)相关性 求A的特征值行列式计算 求逆A-1A I2I-A=0 A 讨论AX=0,AX=b的解 判别正定性 、掌握初等变换 求极大无关组 求A的秩及向量组的秩 判别相关性 初等变换 化A为阶梯形 标准形 求A的秩 解方程组「求特征向量(2I-A)X=0 三、掌握矩阵运算及运算性质。特别是:

1 主要掌握的内容提要 一、掌握行列式计算及开展定理：      = = 0, . | |, . i j i j a t j t i A A 二、掌握初等变换 三、掌握矩阵运算及运算性质。特别是： 求 A 的秩 判别 A 的 n 个列（行）相关性 求 A 的特征值 | I − A| = 0 行列式计算 求逆 | | * 1 A A A = − 讨论 A X = 0 A X = b nn nn , 的解 判别正定性 求极大无关组 求 A 的秩及向量组的秩 判别相关性 初等变换 化 A 为阶梯形 标准形 求 A 的秩 解方程组 求特征向量 (i I − A)X = 0

(1)定义法:AB=I(抽象矩阵) 1)求A的逆{(2)公式法:A-14 (9变换法:(A1D行变 2)判别逆法:A可逆分AB=I分→|A|≠0分r(A) nxn 分A的n个列(行)无关分→AX=0仅零解 分→A的n个特征值非零。 3)求解矩阵方程:对等式变形化简 4)求A小()A=an1B1n(列乘行),Ak=1-A (2)PAP=A(可对角化),A=PAP1 四、掌握判别向量组的线性相关性,线性组合,求极大无关组 1)线性表示:阝=ka1+k22+…+kna 冷AK=β的解。 n×mmx1 2)向量组a12Q2…m相关性,A=(a12…(m), 有不全为零解k分相关 0)=0(仅当所有=0无关 有非零解分相关 ◇→(2)AK=0 n×mmx1 仅零解⊙无关 r<m分A的m个列相关 今(3)r(A)=r r=m台A的m个列无关

2 1）求 A 的逆        = = − − (3) :( | ) ( | ) | | (2) : (1) : ( ) 1 * 1 A I I A A A A AB I 行变 行变换法 公式法 定义法 抽象矩阵 2）判别逆法： r n n n  =    =  A 可逆 AB I | A | 0 (A)  A 的 n 个列（行）无关  A X = 0 nn 仅零解  A 的 n 个特征值非零。 3）求解矩阵方程：对等式变形化简。 4）求     = = = = − − −   (2) ( ), . (1) , ( ), . 1 1 1 1 1 P AP Λ A PΛ P A α β A A A k k k k k n n l 可对角化 列乘行 四、掌握判别向量组的线性相关性，线性组合，求极大无关组 1）线性表示： β = k1α1 + k2α2 ++ kmαm  A K = β nm m1 的解。 2）向量组 α1 , α2 ,  ,αm 相关性, ( ) A = α1α2αm ,    =     = = 仅当所有 无关 有不全为零解 相关 0 (1) 1 i i m i i i k k k α 0       =   仅零解 无关 有非零解 相关 (2) 0 n m m 1 A K    =     =  . . (3) ( ) 的 个列无关 的 个列相关 r m m r m m r r n m A A A >

五、掌握行初等变换解方程组及解结构 1)理解三个参数η,r(A),r(A|b)→掌握解定理。 2)r(A)=r,设AX=0的基础解系为X1X2,…Xn-r, 解空间:N(A)={X|AX=0)},dimN(A)=n-r(A)=解空间N(4) 中极大无关解个数。 3)AX=b解结构 非齐次通解=XC齐次通解+非齐次特解 (KX+k2x2+.+kmn-rXn-r)+n 六、掌握求特征值及特征向量 1)AX=AX,X≠0(定义) 2)|AI-A|=0,求λ2。(若|40I-A|=0,A0必是A的特征值。) 3)(λ,Ⅰ-A)X=0,齐次方程组非零解集就是λ的特征向量。 七、掌握A对角化充要条件,判别A可否对角化 求可逆P,使PAP= 其中P=(01,2,…,an)的n个列必是A的对应于特征值 λ,石2,…凡n的线性无关特征向量 A对角化实质是计算行列式及解齐次方程组

3 五、掌握行初等变换解方程组及解结构 1）理解三个参数 n,r(A),r(A|b)  掌握解定理。 2） r(A) = r, 设 AX = 0 的基础解系为 X X Xn−r , , , 1 2  ， 解空间： N(A) ={X| AX = 0}, dimN(A) = n − r(A) = 解空间 N(A) 中极大无关解个数。 3） AX = b 解结构 X非齐次通解 = XC齐次通解 + η非齐次特解 = (k1X1 + k2X2 ++ kn−rXn−r ) + η 六、掌握求特征值及特征向量 1） AX = X, X  0 （定义） 2） | I − A| = 0 ，求 i 。（若 | 0 I − A | = 0，0 必是 A 的特征值。） 3） (i I − A)X = 0 ，齐次方程组非零解集就是 i 的特征向量。 七、掌握 A 对角化充要条件，判别 A 可否对角化 求可逆 P ，使           = − n   1 1 P AP ， 其 中 ( , , , ) P = α1 α2  αn 的 n 个 列必 是 A 的 对 应于 特征 值   n , , , 1 2  的线性无关特征向量。 A 对角化实质是计算行列式及解齐次方程组

特别关注: (1)对称阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。(用于求 参数及另一些特征向量) (2)对称阵A必相似于对角阵 八、掌握正交变换化二次型为标准形 1)f=X AX X=CY正交阵 42+2y2+…+ny2 对称阵A,存在正交阵C,使 A1 C AC=C AC= 正交变换化二次型实质是求特征值与特征向量,再把特征向量正 交单位化。 2)了解二次型正定的一些充要条件(判别法)。 主要掌握用正定的定义及A的顺序主子式判别法

4 特别关注： （1）对称阵 A 的不同特征值对应的特征向量是正交的。（用于求 参数及另一些特征向量） （2）对称阵 A 必相似于对角阵。 八、掌握正交变换化二次型为标准形 1） 2 2 2 2 2 1 1 n n T f  y +  y + +  y = =  X CY正交阵 X AX 对称阵 A ，存在正交阵 C ，使           = = − n T    1 1 C AC C AC 正交变换化二次型实质是求特征值与特征向量，再把特征向量正 交单位化。 2）了解二次型正定的一些充要条件（判别法）。 主要掌握用正定的定义及 A 的顺序主子式判别法