X1 x+2y2 x1+3y3y X1+2y2 x1+3y D=x2x2+2y2x2+3y3 +hx2+2y2x2+3 3x3+2y2x3+3y3yx3+2y2x3+3y3 (-1) (-1) 2y23 2 x22y23y3+y1x2+2y2x2+3y 2 y3 2 y2×3y3x +y1 x 孓孓八 0+0=0 x3 x3 0 0 1+x 0 例4:计算011+yy 解:第1行的(-1)倍加于第2行上, 1x0 0 x00 D J 011+y 001y 011+y 0011+y
10 1 3 2 3 3 1 2 2 2 3 1 1 2 1 3 3 3 2 3 3 2 2 2 2 3 1 1 2 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 y x y x y y x y x y y x y x y x x y x y x x y x y x x y x y D + + + + + + + + + + + + + = = 3 2 3 3 2 2 2 3 1 2 1 3 1 3 2 3 2 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 2 3 2 3 x y x y x y x y x y x y y x y y x y y x y y + + + + + + + 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 3 2 2 1 1 1 3 2 1 = 2 3 + = + = x x x x x x y x x x y y 例 4：计算 y y y x y x + + + 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 解：第 1 行的（−1 ）倍加于第 2 行上， y y y x y y y y x D + = + + = − 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 （ 1） − 3y3 2 2 − y (−1) (−1) (−1)
1x0 000 11+x 例5:求f(x)= 11-1 的根。 1+x 解:注意到f(x)中每一行元素之和都为x,把第2,3,4列加到 第1列上,得 T -II x- 11+x 1-11+x-1 xx x 111x00 01 000 10 00-1 4 00x f(x) 0,得 2=x3=x4=0
11 = 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 = y y x 。 例 5：求 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) + − − − − − + − − − = x x x x f x 的根。 解：注意到 f (x) 中每一行元素之和都为 x ，把第 2，3，4 列加到 第 1 列上，得 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) − − − − − + − − − = − − − − − + − − − = x x x x x x x x x x x f x 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 4 − − − − − = − − − − − = x x x x x x x x x x 。 x x 4 4 ( 1) 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 = − − − − − = − ( ) 0 4 f x = x = ，得 x1 = x2 = x3 = x4 = 0 (−1)
练习:(1)计算Dn= 19920040 (2)计算301300598 402400794 23 234 (3)计算D3412 §1.3行列式的展开计算 要求学习]1)准确计算元素an的余子式与代数余子式。 2)掌握展开定理。 3)会一些计算方法技巧。 把三阶行列式的项重组,以引入代数余子式概念 a11 13 D 31a =a1(a2a33-a23a32)+a12(a2331-a213)+a13(a21a32-a2431)
12 练习：（1）计算 n Dn 2 1 = 。 （2）计算 402 400 794 301 300 598 199 200 401 （3）计算 D= 4 1 2 3 3 4 1 2 2 3 4 1 1 2 3 4 = §1.3 行列式的展开计算 [要求学习] 1）准确计算元素 aij 的余子式与代数余子式。 2）掌握展开定理。 3）会一些计算方法技巧。 把三阶行列式的项重组，以引入代数余子式概念 31 32 33 21 22 23 11 12 13 3 a a a a a a a a a D = ( ) ( ) ( ) = a11 a22a33 − a23a32 + a12 a23a31 − a21a33 + a13 a21a32 − a22a31
=a1(-1)22 ta +a13(-1) D 定义 ymxn中的元素,划去所在的第i行第丿列 剩余的n-1阶行列式称为的余子式,记为M 并记A=(-1)Mn,则称4为元素an的代数余子式,则三 阶行列式展开式为: D3=a141+a12412+a1343° 定理]行列式D等于它的任意一行(列)的所有元素与其对应 的代数余子式乘积之和。 i行元素为 i1,? 对应代数余子式为A12A2,…,Am, 则:D=anAn1+a12A ∑ 定理推论:行列式的一行(列)所有元素与另一行(列)对应的 代数余子式乘积之和为0。 +a…A.=0 故有 0 a 0 计算要点:
13 31 32 1 3 21 22 13 31 33 1 2 21 23 12 32 33 1 1 22 23 11( 1) ( 1) ( 1) a a a a a a a a a a a a a a a + + + = − + − + − 定义 n n D aij = 中的元素 aij ，划去 aij 所在的第 i 行第 j 列 剩余的 n −1 阶行列式称为 aij 的余子式，记为 M ij 。 并记 ij i j Aij M + = (−1) ，则称 Aij 为元素 aij 的代数余子式，则三 阶行列式展开式为： D3 = a11A11 + a12 A12 + a13A13。 定理 行列式 D 等于它的任意一行（列）的所有元素与其对应 的代数余子式乘积之和。 i 行元素为 ai ai ain , , , 1 2 ， 对应代数余子式为 Ai Ai Ain , , , 1 2 ， 则： = = + + + = n t D ai Ai ai Ai ai nAi n ai t Ai t 1 1 1 2 2 。 定理推论：行列式的一行（列）所有元素与另一行（列）对应的 代数余子式乘积之和为 0。 即 ai1Aj1 + ai2Aj2 ++ ain Aj n = 0 故有 = = = n t it j t i j D i j a A 1 ( ) 0 行 = = = n t ti tj i j D i j a A 1 ( ) 0 列 计算要点：
(1)找零最多的一行(列)展开 (2)把某一行(列)元素用性质5(消元)尽可能多地化为零。 000 120 120 例1:① 1003=24 0003 0400 4798 20 2003 第3列展开9(-1)+331 05 =9×12=108 例2:计算 D 2365 解:第1列与第3列对换。(因第3列元素较简单)。 20 1035 D=(-1) 016 0162 0-432
14 （1）找零最多的一行（列）展开。 （2）把某一行（列）元素用性质 5（消元）尽可能多地化为零。 例 1：① 24 4 0 1 0 0 3 1 2 0 1 0 4 0 0 0 0 0 3 2 1 2 0 1 0 0 0 = = ② 1 1 5 3 1 2 2 0 3 3 9( 1) 1 1 0 5 3 1 0 2 2 0 0 3 4 7 9 8 1+3 第 列展开 − = 912 =108 例 2：计算 5 1 1 2 6 1 0 2 3 0 1 5 2 5 1 0 D = 。 解：第 1 列与第 3 列对换。（因第 3 列元素较简单）。 0 4 3 2 0 1 6 2 0 5 1 5 1 5 2 0 ( 1) 1 1 5 2 0 1 6 2 1 0 3 5 1 5 2 0 ( 1) − − D = − = − （－1）