较,即先将第n个数字与前面n-1个数字比较求得第n个数字的逆 序,再将第n-1个数字与前面的n-2个数字比较,求得第n-1个数 字逆序,继续之,得所有数字逆序总和就是该排列的逆序数 例2:求下列各排列的逆序数 1)[264351=9(奇) 2)[214356]=2(偶) 3)[12……n]=0(偶) 4k (偶) n(n-1)4k+1(偶) 4)z[nn-1…21]= 4k+2(奇) 4k+3(奇) 定义21一个排列的逆序数为奇(偶)数,称为该排列为奇(偶) 排列。 定义3」一个排列中两数字位置互换,其余数字不动,称为一次 对换,相邻两数字的对换,称为邻换 定理]一次对换改变排列的奇偶性 (即偶次对换不变奇偶性,奇次对换改变奇偶性) 将一个n元排列对换成为自然排列123…n有多种方法,得到 的逆序数可以不同,但其奇偶性却不变。 推论1:一个n元排列对换为自然排列12…n,对换次数的奇 偶性与该排列的奇偶性相同
5 较，即先将第 n 个数字与前面 n −1 个数字比较求得第 n 个数字的逆 序，再将第 n −1 个数字与前面的 n − 2 个数字比较，求得第 n −1 个数 字逆序，继续之，得所有数字逆序总和就是该排列的逆序数。 例 2：求下列各排列的逆序数。 1） [264351] = 9 （奇） 2） [214356] = 2 （偶） 3） [12n] = 0 （偶） 4） + + + = − − = 4 3 ( ) 4 2 ( ) 4 1 ( ) 4 ( ) , 2 ( 1) [ 1 2 1] 奇 奇 偶 偶 k k k k n n n n n 定义 2 一个排列的逆序数为奇（偶）数，称为该排列为奇（偶） 排列。 定义 3 一个排列中两数字位置互换，其余数字不动，称为一次 对换，相邻两数字的对换，称为邻换。 定理 一次对换改变排列的奇偶性 （即偶次对换不变奇偶性，奇次对换改变奇偶性） 将一个 n 元排列对换成为自然排列 1 2 3n 有多种方法，得到 的逆序数可以不同，但其奇偶性却不变。 推论 1：一个 n 元排列对换为自然排列 1 2 n ，对换次数的奇 偶性与该排列的奇偶性相同
推论2:所有n元排列的奇偶性个数各半。 、n阶行列式定义 12 定义 nI 2 r[ii2…in [i2…inl i2 D 是一个数,称为n阶行列式,简记为 n×n (1)每项n个元素之积a1n2…amn中的n元取之不同行不同 (2)共有n!项。 T (3)符号由(-1) 决定的。 (4)∑表示把对应的!个项加起来 [i2…in] 显然若D的一行(列)元素都为0,则D=0。 例3:上,下三角行列式及对角行列式的值。 (1)
6 推论 2：所有 n 元排列的奇偶性个数各半。 三、 n 阶行列式定义 定义 4 n n n n n n a a a a a a a a a D 1 2 21 22 2 11 12 1 = ( 1) . 1 2 1 2 1 2 1 2 [ ] [ ] i i in n n n i i i i i i a a a = − 是一个数，称为 n 阶行列式，简记为 n n D aij = （1）每项 n 个元素之积 in a i a i an 1 2 1 2 中的 n 元取之不同行不同 列。 （2）共有 n! 项。 （3）符号由 [ ] 1 2 ( 1) n i i i − 决定的。 （4） [ ] 1 2 n i i i 表示把对应的 n! 个项加起来。 显然若 D 的一行（列）元素都为 0，则 D = 0。 例 3：上，下三角行列式及对角行列式的值。 （1） nn a a a * * 22 11
下三角行列式 22 2 上三角行列式 对角行列式 =a1422am=∏an(∏表示连乘号) L= 例4(1)决定4阶行列式中项a232412a14的符号。 (2)求j的值,使得4阶行列式a2a1a4a3带负号 解:(1)a23a41a3214→)a14a23a32a41,计算列下标逆序 z[4321=3+2+1=6 该项带正号。 2)a231n4143-a1n233/41,列下标排列为3 得1=2,j=4,或i=4,j=2,因为 [2341]=3+0+0+0=3 故得i=2,j=4 说明:行列式的另一定义为 D a,1a,n…a [i2…n] (列下标按自然顺序)
7 下三角行列式 n n an n a a a a a 22 11 22 11 * * = = 上三角行列式 对角行列式 ii n i nn a a a a 1 11 22 = = = （ 表示连乘号） 例 4（1）决定 4 阶行列式中项 a23a41a32 a14 的符号。 （2）求 i, j 的值，使得 4 阶行列式 a23a1ia41a3 j 带负号。 解：（1） 23 41 32 14 14 23 32 41 a a a a → a a a a ，计算列下标逆序。 [4321] = 3+ 2 +1 = 6 该项带正号。 （2） a23a1i a41a3 j → a1i a23a3 j a41 ，列下标排列为 i3 j1， 得 i = 2, j = 4 ，或 i = 4, j = 2 ，因为 [2341] = 3+ 0 + 0 + 0 = 3 故得 i = 2, j = 4. 说明：行列式的另一定义为 i i i n i i i i i i n n i n D a a a 1 2 [ ] [ ] 1 2 1 2 2 = (−1) （列下标按自然顺序）
§1.2行列式的性质 [学习要求]:掌握行列式的性质,运用行列式性质化简行列式 本节是对行列式进行变换化简,以便简化计算 行列式的五个性质: 1)转置不变值,即D=D 2)拆开 3)数乘(提取因子) 4)对换变号 行列式的初等变换 5)消元(倍加)不变值。 两个零推论 ①D的两行(列)相同,则D=0。 ②D的两行(列)元素成比例,则D=0。 例1:(1)D1 45 (2)D2=254 201402605 解:(1)D1=2×453=2×3×45 36
8 §1.2 行列式的性质 [学习要求]：掌握行列式的性质，运用行列式性质化简行列式。 本节是对行列式进行变换化简，以便简化计算。 行列式的五个性质： 1）转置不变值，即 D D T = 2）拆开 3）数乘（提取因子） 4）对换变号 行列式的初等变换 5）消元（倍加）不变值。 两个零推论 ① D 的两行（列）相同，则 D = 0。 ② D 的两行（列）元素成比例，则 D = 0。 例 1：（1） 0 1 9 4 5 3 2 4 6 D1 = （2） 201 402 605 2 5 4 1 2 3 D2 = 解：（1） 36 0 1 3 4 5 1 1 2 1 2 3 0 1 9 4 5 3 1 2 3 D1 = 2 = = −
123 200 (2) D2=254 254=2 201402605 1-3 例2:计算 01 1-1-33 2141 解: 027-3 0145 1-1-33 0145 027 00-2-20 (-1) 00-1-13 0006 y1x1+2y2x1+3y3 例3计算D=x2+yx2+2y2x2+3y3 x3+y1x3+2y2x3+3y3 解:将第一列拆开为
9 （2） 2 1 2 5 2 5 4 1 2 3 201 402 605 2 5 4 1 2 3 D2 = = = 例 2：计算 0 1 4 5 2 0 1 3 2 1 4 1 1 −1 − 3 3 解： 0 1 4 5 0 2 7 3 0 3 10 5 1 1 3 3 0 1 4 5 2 0 1 3 2 1 4 1 1 1 3 3 − − − − = − − 0 3 10 5 0 2 7 3 0 1 4 5 1 1 3 3 ( 1) − − − − = − 0 0 2 20 0 0 1 13 0 1 4 5 1 1 3 3 ( 1) − − − − − − = − 6 0 0 0 6 0 0 1 13 0 1 4 5 1 1 3 3 ( 1) = − − − − = − 例 3 计算 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 2 3 2 3 2 3 x y x y x y x y x y x y x y x y x y D + + + + + + + + + = 解：将第一列拆开为 -200 − 2 −3 − 2 − 2 − 2