按(12)来决定行列式中每一项的符号的好处在于,行指标与列指标的地位是对称 的,因而为了决定每一项的符号,同样可以把每一项按列指标排起来,于是定义 又可以写成 由此即得行列式的下列性质 性质1行列互换,行列式不变即 (16) 性质1表明,在行列式中行与列的地位是对称的,因之凡是有关行的性质, 对列也同样成立.例如由(8)即得下三角形的行列式 =al1422
按(12)来决定行列式中每一项的符号的好处在于，行指标与列指标的地位是对称 的，因而为了决定每一项的符号，同样可以把每一项按列指标排起来，于是定义 又可以写成 = − n n n i i i i i i n i i i n n nn n n a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 21 22 2 11 12 1 ( 1) . (15) 由此即得行列式的下列性质： 性质 1 行列互换，行列式不变.即 n n nn n n n n nn n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1 2 12 22 2 11 21 1 1 2 21 22 2 11 12 1 = . (16) 性质 1 表明，在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质， 对列也同样成立. 例如由(8)即得下三角形的行列式 nn n n nn a a a a a a a a a 11 22 1 2 21 22 11 0 0 0 =
s4n级行列式的性质 行列式的计算是一个重要的问题,也是一个很复杂的问题.n级行列式一共 有n项,计算它就需做个乘法当n较大时,n是一个相当在的数字直接从定义 来计算行列式几乎是不可能的事因此有必要进一步讨论行列式的性质利用这些 性质可以化简行列式的计算. 在行列式的定义中,虽然每一项是n个元素的乘积,但是由于这n个元素是 取自不同的行与列,所以对于某一确定的行中n个元素(譬如an,a2…,an)来说, 每一项都含有其中的一个且只含有其中的一个元素因之,n级行列式的n项可以 分成n组,第一组的项都含有an1,第二组的项都含有a2等等再分别把i行的元 素提出来,就有 =an1A1+a12A2+…+amnm (1) 其中A代表那些含有an的项在提出公因子a之后的代数和至于A究竟是哪 些项的和暂且不管,到§6再来讨论从以上讨论可以知道,A中不再含有第i行 的元素,也就是A1,A2…,A全与行列式中第i行的元素无关由此即得. 性质2 这就是说,一行的公因子可以提出去,或者说以一数乘行列式的一行相当于用这 个数乘此行列式 令k=0,就有如果行列式中一行为零,那么行列式为零 性质3
§4 n 级行列式的性质 行列式的计算是一个重要的问题，也是一个很复杂的问题. n 级行列式一共 有 n! 项，计算它就需做个乘法.当 n 较大时， n! 是一个相当在的数字.直接从定义 来计算行列式几乎是不可能的事.因此有必要进一步讨论行列式的性质.利用这些 性质可以化简行列式的计算. 在行列式的定义中，虽然每一项是 n 个元素的乘积，但是由于这 n 个元素是 取自不同的行与列，所以对于某一确定的行中 n 个元素(譬如 ai ai ain , , , 1 2 )来说， 每一项都含有其中的一个且只含有其中的一个元素.因之， n 级行列式的 n! 项可以 分成 n 组，第一组的项都含有 i1 a ，第二组的项都含有 i2 a 等等.再分别把 i 行的元 素提出来，就有 i i i i i n i n n n n n n n a A a A a A a a a a a a a a a = + ++ 1 1 2 2 1 2 21 22 2 11 12 1 (1) 其中 Aij 代表那些含有 ij a 的项在提出公因子 ij a 之后的代数和.至于 Aij 究竟是哪一 些项的和暂且不管，到§6 再来讨论.从以上讨论可以知道， Aij 中不再含有第 i 行 的元素，也就是 Ai Ai Ain , , , 1 2 全与行列式中第 i 行的元素无关.由此即得. 性质 2 n n n n i i i n n n n n n i i i n n a a a a a a a a a k a a a k a k a k a a a a 1 2 1 2 11 12 1 1 2 1 2 11 12 1 = 这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行相当于用这 个数乘此行列式. 令 k = 0 ，就有如果行列式中一行为零，那么行列式为零. 性质 3
aIm a1 al C, b, b, +c= b, b2 这就是说,如果某一行是两组数的和,那么这个行列式就等于两个行列式的和, 而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样 性质3显然可以推广到某一行为多组数的和的情形 性质4如果行列式中有两行相同,那么行列式为零所谓两行相同就是说两 行的对应元素都相等 性质5如果行列式中两行成比例,那么行列式为零 性质6把一行的倍数加到另一行,行列式不变 性质7对换行列式中两行的位置,行列式反号 例1计算n级行列式 b b bbb 例2计算行列式 503201298 由于行列戒,上(下)三角形行列式容易计算,因此计算行列式的一个基本方法是利用行 列式的性质,把行列式化成上(下)三角形行列式进行计算 例3一个n级行列式,假设它的元素满足 证明,当n为奇数时,此行列式为零
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a c c c a a a a a a b b b a a a a a a b c b c b c a a a 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 + + + = + . 这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和， 而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样. 性质 3 显然可以推广到某一行为多组数的和的情形. 性质 4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零.所谓两行相同就是说两 行的对应元素都相等. 性质 5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零. 性质 6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变. 性质 7 对换行列式中两行的位置，行列式反号. 例 1 计算 n 级行列式 b b b a b b a b b a b b a b b b d = 例 2 计算行列式 5 2 3 503 201 298 − 2 3 1 . 由于行列戒，上(下)三角形行列式容易计算，因此计算行列式的一个基本方法是利用行 列式的性质，把行列式化成上(下)三角形行列式进行计算. 例 3 一个 n 级行列式，假设它的元素满足 aij = −a ji , i , j = 1,2, ,n , (4) 证明，当 n 为奇数时，此行列式为零
§5行列式的计算 下面利用行列式的性质给出一个计算行列式的方法 在§3我们看到,一个上三角形行列式 00 就等于它主对角线上元素的乘积 c1422‘am 这个计算是很简单的.下面我们想办法把任意的n级行列式化为上三角形行列式 来计算 定义5由sn个数排成的s行(横的)n列(纵的)的表 21 aa 称为一个s×n矩阵 数an,i=1,2…,s,j=1,2…n,称为矩阵(1)的元素,i称为元素an的行指标, j称为列指标当一个矩阵的元素全是某一数域P中的数时,它就称为这一数域P 上的矩阵 n×n矩阵也称为n级方阵一个n级方阵 定义一个n级行列式 称为矩阵A的行列式,记作|A
§5 行列式的计算 下面利用行列式的性质给出一个计算行列式的方法. 在§3 我们看到，一个上三角形行列式 nn n n a a a a a a 0 0 0 22 2 11 12 1 就等于它主对角线上元素的乘积 a11a22 ann 这个计算是很简单的.下面我们想办法把任意的 n 级行列式化为上三角形行列式 来计算. 定义 5 由 sn 个数排成的 s 行(横的) n 列(纵的)的表 s s sn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 (1) 称为一个 sn 矩阵. 数 aij ,i = 1,2, ,s, j = 1,2, ,n ,称为矩阵(1)的元素， i 称为元素 ij a 的行指标， j 称为列指标.当一个矩阵的元素全是某一数域 P 中的数时，它就称为这一数域 P 上的矩阵. nn 矩阵也称为 n 级方阵.一个 n 级方阵 = n n nn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 定义一个 n 级行列式 n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 称为矩阵 A 的行列式，记作 | A |
定义6所谓数域P上矩阵的初等行变换是指下列三种变换: 1)以P中一个非零的数乘矩阵的某一行 2)把矩阵的某一行的c倍加到另一行,这里c是P中任意一个数 3)互换矩阵中两行的位置 一般说来,一个矩阵经过初等行变换后,就变成了另一个矩阵当矩阵A经 过初等行变换变成矩阵B时,我们写成 A→>B 若一个矩阵的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素所在的下方 全为零,则称这样的矩阵为阶梯形矩阵. 可以证明,任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯形矩阵 现在回过来讨论行列式的计算问题一个n级行列式可看成是由一个n级方 阵A决定的,对于矩阵可以作初等行变换,而行列式的性质2,6,7正是说明了 方阵的初等行变换对于行列式的值的影响每个方阵A总可以经过一系列的初等 行变换变成阶梯形方阵J由行列式性质2,6,7,对方阵每作一次初等行变换, 相应地,行列式或者不变,或者差一非零的倍数,也就是 AF=klJ|,k≠0 显然,阶梯形方阵的行列式都是上三角形的,因此是容易计算的. 例计算 25-13 1-9137 28-7-10 不难算出,用这个方法计算一个n级的数字行列式只需要做 n3+2n-3 次乘 3 法和除法特别当n比较大的时候,这个方法的优越性就更加明显了.同时还应该 看到,这个方法完全是机械的,因而可以用电子计算机按这个方法来进行行列式 的计算 对于矩阵同样可以定义初等列变换,即 1)以P中一个非零的数乘矩阵的某一列; 2)把矩阵的某一列的c倍加到另一列,这里c是P中任意一个数;
定义 6 所谓数域 P 上矩阵的初等行变换是指下列三种变换： 1）以 P 中一个非零的数乘矩阵的某一行； 2）把矩阵的某一行的 c 倍加到另一行，这里 c 是 P 中任意一个数； 3) 互换矩阵中两行的位置. 一般说来，一个矩阵经过初等行变换后，就变成了另一个矩阵.当矩阵 A 经 过初等行变换变成矩阵 B 时，我们写成 A→ B 若一个矩阵的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素所在的下方 全为零，则称这样的矩阵为阶梯形矩阵. 可以证明，任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯形矩阵. 现在回过来讨论行列式的计算问题.一个 n 级行列式可看成是由一个 n 级方 阵 A 决定的，对于矩阵可以作初等行变换，而行列式的性质 2，6，7 正是说明了 方阵的初等行变换对于行列式的值的影响.每个方阵 A 总可以经过一系列的初等 行变换变成阶梯形方阵 J .由行列式性质 2，6，7，对方阵每作一次初等行变换， 相应地，行列式或者不变，或者差一非零的倍数，也就是 | A |= k | J | ,k 0 显然，阶梯形方阵的行列式都是上三角形的，因此是容易计算的. 例 计算 2 8 7 10 3 1 5 5 1 9 13 7 2 5 1 3 − − − − − − − 不难算出，用这个方法计算一个 n 级的数字行列式只需要做 3 2 3 3 n + n − 次乘 法和除法.特别当 n 比较大的时候，这个方法的优越性就更加明显了.同时还应该 看到，这个方法完全是机械的，因而可以用电子计算机按这个方法来进行行列式 的计算. 对于矩阵同样可以定义初等列变换，即 1）以 P 中一个非零的数乘矩阵的某一列； 2）把矩阵的某一列的 c 倍加到另一列，这里 c 是 P 中任意一个数；