《数学分析》上册教案 第一章实数集与函数 海南大学数学系 S1.3函数概念 授课章节：第一章S13函数概念 教学目标：使学生深刻理解函数概念 教学要求：(1)深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各 种表示方法： (2)牢记基本初等函数的定义、性质及其图象会求初等函数的存在域，会分析初等 函数的复合关系 教学重点：函数的概念 散学难点：初等函数复合关系的分析 教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学。 教学过程： 引言 关于函数概念，在中学数学中己有了初步的了解为便于今后的学习，本节将对此作进一步 讨论 一、函数的定义 一）定义 定义1设D,McR,如果存在对应法则f,使对x∈D,存在唯一的一个数y∈M与之 对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作f:D→M(x→y) 函数∫在点x的函数值，记为fx),全体函数值的集合称为函数∫的值域，记作∫(D).即 f(D)=(yly=f(x).xED). (二)几点说明 ()函数定义的记号中“∫：D→M”表示按法则∫建立D到M的函数关系，x→y表示这 两个数集中元素之间的对应关系，也记作x→f(x).习惯上称x自变量，y为因变量. (2)函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域当对应法则和定义域确定后，值域便自 然确定下来因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法则所以函数也常表示为： y=∫x),x∈eD.由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则
《数学分析》上册教案 第一章 实数集与函数 海南大学数学系 1 §1.3 函数概念 授课章节：第一章 §1.3 函数概念 教学目标：使学生深刻理解函数概念. 教学要求：（１）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各 种表示方法； （２）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象.会求初等函数的存在域，会分析初等 函数的复合关系. 教学重点：函数的概念. 教学难点：初等函数复合关系的分析. 教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学. 教学过程： 引言 关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解.为便于今后的学习，本节将对此作进一步 讨论. 一、 函数的定义 (一) 定义 定义１ 设 D M R , ，如果存在对应法则 f ，使对 x D ，存在唯一的一个数 y M 与之 对应，则称 f 是定义在数集Ｄ上的函数，记作 f D M : → ( x y |→ ). 函数 f 在点 x 的函数值，记为 f x( ) ，全体函数值的集合称为函数 f 的值域，记作 f D( ) .即 f D y y f x x D ( ) | ( ), = = . (二) 几点说明 (1) 函数定义的记号中“ f D M : → ”表示按法则 f 建立Ｄ到Ｍ的函数关系， x y |→ 表示这 两个数集中元素之间的对应关系，也记作 x f x | ( ) → .习惯上称 x 自变量， y 为因变量. (2) 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域.当对应法则和定义域确定后，值域便自 然确定下来.因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法则.所以函数也常表示为： y f x x D = ( ), . 由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则
《数学分析》上册教案 第一章实数集与函数 海南大学数学系 例如：1)f(x)=1,xeR,g(x)=L,x∈R1O.(不相同，对应法则相同，定义域不同) 2)o(x)xx∈Rx)=VF,x∈R(相同，对应法则的表达形式不同) (③)函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的 全体，通常称为存在域（自然定义域），此时，函数的记号中的定义域D可省略不写，而只用对 应法则∫来表示一个函数即“函数y=∫x)”或“函数∫” (4)“映射”的观点米看，函数f本质上是映射，对于aeD,f(a)称为映射f下a的象a 称为f(a)的原象 (⑤)函数定义中，x∈D,只能有唯一的一个y值与它对应，这样定义的函数称为“单值 函数”，若对同一个x值，可以对应多于一个y值，则称这种函数为多值函数本书中只讨论单值 函数（简称函数） (6)定义1中的定义是Cauchy于1834年给出.不是完美的、现 代意义上的函数定义事实上，函数定义的产生也经历了一个从无 到有，从具体到抽象从特殊到一般，从不完美到逐步完美的过程 这个进程中充满了斗争历史上，原始的“函数观念”伴随着数学 的出现而产生，经过近两个世纪，明确提出“函数”一词，并将其作为数学概念研究，则在17 世纪以后，现代函数定义是在1921年，则库拉托夫斯基给出.定义如下： 设∫是一个序偶集合，若当(x,y)∈∫时，y=,则∫称为一个函数.（朱家麟《浅谈函数 概念的历史演讲》，《河北师范大学学报》，1990年第4期) 二、函数的表示方法 (一)主要方法： 解析法（分式法）、列表法和图象法 (二)可用“特殊方法”来表示的函数 1、分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示 1,x>0 例如 sgnx={0,x=0,(符号函数) -1,x<0 (借助于Sgnx可表示f(x)xL,即f(x)Hx=xsgnx)
《数学分析》上册教案 第一章 实数集与函数 海南大学数学系 2 0 例如：1） f x x R ( ) 1, , = g x x R ( ) 1, \ 0 . = （不相同，对应法则相同，定义域不同） 2） ( ) | |, , x x x R = 2 ( ) , . x x x R = （相同，对应法则的表达形式不同）. (3) 函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的 全体，通常称为存在域（自然定义域）.此时，函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对 应法则 f 来表示一个函数.即“函数 y f x = ( ) ”或“函数 f ”. (4) “映射”的观点来看，函数 f 本质上是映射，对于 a D ， f a( ) 称为映射 f 下 a 的象. a 称为 f a( ) 的原象. (5) 函数定义中， x D ，只能有唯一的一个 y 值与它对应，这样定义的函数称为“单值 函数”，若对同一个 x 值，可以对应多于一个 y 值，则称这种函数为多值函数.本书中只讨论单值 函数（简称函数）. (6) 定义１中的定义是 Cauchy 于 1834 年给出.不是完美的、现 代意义上的函数定义.事实上，函数定义的产生也经历了一个从无 到有，从具体到抽象.从特殊到一般，从不完美到逐步完美的过程. 这个进程中充满了斗争.历史上，原始的“函数观念”伴随着数学 的出现而产生，经过近两个世纪，明确提出“函数”一词，并将其作为数学概念研究, 则在 17 世纪以后，现代函数定义是在 1921 年，则库拉托夫斯基给出.定义如下： 设 f 是一个序偶集合，若当 ( , ) x y f 时， y z = ，则 f 称为一个函数.（朱家麟《浅谈函数 概念的历史演讲》，《河北师范大学学报》，1990 年第４期） 二、 函数的表示方法 (一) 主要方法： 解析法（分式法）、列表法和图象法. (二) 可用“特殊方法”来表示的函数 1、分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示. 例如 1, 0 sgn 0, 0 1, 0 x x x x = = − ，（符号函数） （借助于 Sgnx 可表示 f x x ( ) | |, = 即 f x x x x ( ) | | sgn = = ）
《数学分析》上册教案 第一章实数集与函数 海南大学数学系 2、用语言叙述的函数（注意：以下函数不是分段函数） 例()y=](取整函数) 比如：[3.5]=3，[3]=3，[-3.5]=-4 常有[≤x<[x+1,及0≤x-x<1 与此有关一个的函数()=x-[的图形 是一条大锯，画出图看一看. 1，当x为有理数 (②)D)={0.当x为无理数， (Dirichlet) 0 这是一个病态函数，很有用处，却无法画 出它的图形.它是周期函数，但却没有最小周期，事实上任一有理数都是它的周期。 当x=2p,q∈N+,巴为假分数， (3)R(x)={q (Riemman函数) 0,当x=0,1和(0,1)内的无理数. 三、函数的四则运算 给定两个函数f,x∈D,g,x∈D,记D=DUD,并设D≠中，定义f与g在D上的和、差、 积运算如下： F(x)=f(x)+gx,x∈D:G(x)=fx)-g(x,x∈D:H(x)=fx)g(x,x∈D 若在D中除去使g(x)=0的值，即令D=D八{xg(x)≠0，x∈D,}≠，可在D上定义∫与g 的商运第如下：4国-得xeD 注：1)若D=DUD,=中，则f与g不能进行四则运算 2为叙达方便，函数了与8的和、差、积、商常分别写为：了+8，了-8底号 四、复合运算 (一)引言 在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关 系 例：质量为m的物体自由下落，速度为，则功率E为 3
《数学分析》上册教案 第一章 实数集与函数 海南大学数学系 3 2、用语言叙述的函数.（注意；以下函数不是分段函数） 例 (1) y x = [ ] （取整函数） 比如： [3.5]=3, [3]=3, [-3.5]=-4. 常有 [x] x [x]+1, 及 0 x −[x] 1. 与此有关一个的函数 f (x) = x −[x] 的图形 是一条大锯，画出图看一看. (2) 1, ( ) 0, x D x x = 当 为有理数, 当 为无理数, （Dirichlet） 这是一个病态函数，很有用处，却无法画 出它的图形. 它是周期函数，但却没有最小周期，事实上任一有理数都是它的周期. (3) 1 , ( , , ( ) 0, 0,1 (0,1) p p x p q N R x q q q x = + = = 当 为假分数), 当 和 内的无理数. （Riemman 函数） 三、函数的四则运算 给定两个函数 1 2 f x D g x D , , , ，记 D D D = 1 2 ，并设 D ，定义 f 与 g 在Ｄ上的和、差、 积运算如下： F x f x g x x D ( ) ( ) ( ), = + ； G x f x g x x D ( ) ( ) ( ), = − ； H x f x g x x D ( ) ( ) ( ), = . 若在 D 中除去使 g x( ) 0 = 的值，即令 D D x g x x D = \ ( ) 0, 2 ，可在 D 上定义 f 与 g 的商运算如下； ( ) ( ) , ( ) f x L x x D g x = . 注：1) 若 D D D = = 1 2 ，则 f 与 g 不能进行四则运算. 2)为叙述方便，函数 f 与 g 的和、差、积、商常分别写为： , , , f f g f g fg g + − . 四、 复合运算 (一) 引言 在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关 系. 例：质量为 m 的物体自由下落，速度为 v，则功率Ｅ为 0
《数学分析》上册敦案 第一章实数集与函数 海南大学数学系 E=Im v=gt Emg'p. 抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数)=m,=g,把)代入了，即得 f0》=sr。 这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数” 问题：任给两个函数都可以复合吗？考虑下例： y=f(u)=arcsinu.uED=[-1I.I].u=g(x)=2+x,xEE=R. 就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数” 的定义域的交集不空（从而引出下面定义） (二)定义（复合函数) 设有两个函数y=f(,ueD,u=g(x,x∈E,记E={xVx)∈D}nE,若E≠中，则对每 个x∈E,通过g对应D内唯一一个值u,而u又通过f对应唯一一个值y,这就确定了 个定义在E上的函数，它以x为自变量，y因变量，记作y-fgx),x∈E或 y=(fg(x),x∈E.简记为fg称为函数∫和g的复合函数，并称f为外函数，g为内函数， u为中间变量。 (三)例子 例1y=f)=Va,u=g(x)=1-x2.求(fogx)=fg(x)]并求 定义域 例2(1)f1-x)=x2+x+1f(x)= A.x2, B.x2+1, C.x2-2D.x2+2. 例讨论函数y=f()=√a,u∈0，+o)与函数u=g(x)=-x,x∈R能否 进行复合，求复合函数 (四)说明
《数学分析》上册教案 第一章 实数集与函数 海南大学数学系 4 2 2 2 1 1 2 2 E mv E mg t v gt = = = . 抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数 1 2 ( ) , 2 f v mv v gt = = ，把 vt() 代入 f ，即得 1 2 2 ( ( )) 2 f v t mg t = . 这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数”. 问题: 任给两个函数都可以复合吗？考虑下例； 2 y f u u u D u g x x x E R = = = − = = + = ( ) arcsin , [ 1,1], ( ) 2 , . 就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数” 的定义域的交集不空（从而引出下面定义）. (二) 定义（复合函数） 设有两个函数 y f u u D u g x x E = = ( ), , ( ), ，记 E x f x D E = ( ) ，若 E ，则对每 一个 x E ，通过 g 对应Ｄ内唯一一个值 u ，而 u 又通过 f 对应唯一一个值 y ，这就确定了一 个定义在 E 上的函数，它以 x 为自变量， y 因变量，记作 y f g x x E = ( ( )), 或 y f g x x E = ( )( ), .简记为 f g .称为函数 f 和 g 的复合函数，并称 f 为外函数，g 为内函数， u 为中间变量. (三) 例子 例 1 ( ) , ( ) 1 . 2 y = f u = u u = g x = − x 求 (f g)(x) = fg(x). 并求 定义域. 例 2 (1) 2 f x x x f x (1 ) 1, ( ) _. − = + + = (2) . 1 1 2 2 x x x f x = + + 则 f (x) = ( ) A. , 2 x B. 1, 2 x + C. 2, 2 x − D. 2. 2 x + 例 讨论函数 y f u u u = = + ( ) , [0, ) 与函数 2 u g x x x R = = − ( ) 1 , 能否 进行复合，求复合函数. (四) 说明
《数学分析》上册教案 第一章实数集与函数 海南大学数学系 1、复合函数可由多个函数相继复合而成每次复合，都要验证能否进行？在哪个数集上进 行？复合函数的最终定义域是什么？ 例如：y=sinw,4=√F,v=1-x2,复合成：y=sinV-x,x∈[-L,. 2、不仅要会复合，更要会分解把一个函数分解成若干个简单函数，在分解时也要注意定 义域的变化 ①y=log。V1-x2,xe(0,)→y=log。4,u=VF,:=1-x2 ②y=arcsin√r2+i→y=arcsinu,u=√X+l. ③y=2mx→y=2”,=2,v=sinx 五、反函数 (一)引言 在函数y=fx)中把x叫做自变量，y叫做因变量但需要指出的是，自变量与因变 量的地位并不是绝对的，而是相对的，例如：f(0)=√a,u=P+L,那么u对于∫来讲是 自变量，但对1来讲，u是因变量 习惯上说函数y=f(x)中x是自变量，y是因变量，是基于y随x的变化现时变化但有 时我们不公要研究y随x的变化状况，也要研究x随y的变化的状况对此，我们引入反函数 的概念。 (二)反函数概念 定义设f:X→R是一函数，如果V,∈X,由≠为→)≠(x) (或由f()=fx)→x=x),则称∫在X上是1-1的. 若：X→y,y=fX,称∫为满的. 若f:X→Y是满的1-1的，则称∫为1-1对应. ∫：X→R是1-1的意味着y=四对周定y至多有一个解x,f:X→”是1-1的意味 着对y∈Y,y=f(x)有且仅有一个解x. 定义设f:X→y是1-1对应.少eY,由y=f)唯一确定一个x∈X,由这种对应法 则所确定的函数称为y=(x)的反函数，记为x=O). 反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域
《数学分析》上册教案 第一章 实数集与函数 海南大学数学系 5 1、复合函数可由多个函数相继复合而成.每次复合，都要验证能否进行？在哪个数集上进 行？复合函数的最终定义域是什么？ 例如： 2 y u u v v x = = = − sin , , 1 ，复合成： 2 y x x = − − sin 1 , [ 1,1]. 2、不仅要会复合，更要会分解.把一个函数分解成若干个简单函数，在分解时也要注意定 义域的变化. ① 2 2 log 1 , (0,1) log , , 1 . a a y x x y u u z z x = − → = = = − ② 2 2 y x y u u x = + → = = + arcsin 1 arcsin , 1. ③ 2 sin 2 2 2 , , sin . x u y y u v v x = → = = = 五、反函数 (一) 引言 在函数 y f x = ( ) 中把 x 叫做自变量， y 叫做因变量.但需要指出的是，自变量与因变 量的地位并不是绝对的，而是相对的，例如： 2 f u u u t ( ) , 1, = = + 那么 u 对于 f 来讲是 自变量，但对 t 来讲， u 是因变量. 习惯上说函数 y f x = ( ) 中 x 是自变量， y 是因变量，是基于 y 随 x 的变化现时变化.但有 时我们不公要研究 y 随 x 的变化状况，也要研究 x 随 y 的变化的状况.对此，我们引入反函数 的概念. (二) 反函数概念 定义 设 f : X → R 是一函数，如果 1 x ， x2 X , 由 ( ) ( ) 1 2 1 2 x x f x f x (或由 1 2 1 2 f (x ) = f (x ) x = x )，则称 f 在 X 上是 1-1 的. 若 f : X →Y ，Y = f (X ) ，称 f 为满的. 若 f : X →Y 是满的 1-1 的，则称 f 为 1-1 对应. f : X → R 是 1-1 的意味着 y = f (x) 对固定 y 至多有一个解 x ， f : X →Y 是 1-1 的意味 着对 y Y ， y = f (x) 有且仅有一个解 x . 定义 设 f : X →Y 是 1-1 对应. y Y , 由 y = f (x) 唯一确定一个 x X , 由这种对应法 则所确定的函数称为 y = f (x) 的反函数，记为 ( ) 1 x f y − = . 反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域