例.y=√x(x23-4cosx-sin1),求y及y1x=1 解:y′=(x)(x32-4cosx-sin1) +√x(x3-4cosx-sin1 (x'-4 cos x-sin 1)+x(3x+4sin x) (1-4 1)+(3+sin 1) sin1-2 cos 1 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束
例1. 解: 4sin x (1 2 1 sin1) ( 4cos sin1) , 3 y x x x . 1 x 求 y 及 y y ( x ) x ( 4cos sin1) 2 1 3 x x x 2 x (3 x ) y x1 4cos1 (3 4sin1) sin1 2cos1 2 7 2 7 ( 4cos sin1) 3 x x ( 4cos sin1) 3 x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
u (3)(-) uv=uy 证:设f(x) 则有 V(x u(+h)u( f(r)=lim f(x+h)-f(r lim v(+h h→>0 h→>0 h u(xth-u(x v(x=u(x) v(x+h)-v(x Im h h→>0 (x+h)v(x u(x)v(x)u(x)v(x) 故结论成立 推论 (C为常数) 学 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束
( ) ( ) lim h 0 v x h v x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v x h v x u x h v x u x v x h h u(x)v(x) (3) 2 v u v u v v u 证: 设 f (x) 则有 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 h h lim 0 , ( ) ( ) v x u x ( ) ( ) v x h u x h ( ) ( ) v x u x h u(x h) u(x) v(x) h v(x h) u(x) v(x) 故结论成立. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 v x u x v x u x v x 推论: 2 v C v v C 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 )
例2.求证(tanx)’=sec2x,(cscx)y=- cscx cot x 证:(tanx) sin x_(sin x)'cos x-sin x(cos x) cOSX cos x cos x +sin x sec x COS X (Sin x COSX CSC x SIn x SIn X Sin X cscx cot x 类似可证:(cotx)=-csc2x,(secx)’= secx tan x HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束
(csc x) sin x 1 x 2 sin (sin x) x 2 sin 例2. 求证 (tan ) sec , 2 x x 证: (csc x) csc x cot x . x x x cos sin (tan ) x 2 cos (sin x)cos x sin x (cos x) x 2 cos x 2 cos x 2 sin x 2 sec cos x csc x cot x 类似可证: (cot ) csc , 2 x x (sec x) sec x tan x . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
反函数的求导法则 定理2.设y=f(x)为x=f1(y)的反函数,f(y)在 y的某邻域内单调可导,且[f(y)≠0 d ∫(x)= 或 I I d x d 证:在x处给增量△x≠0,由反函数的单调性知 △y=f(x+△x)-f(x)≠0 且由反函数的连续性知Ax→0时必有y→>0,因此 f(x)=1n△y=inA [f-(y) 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上贞下臾返回结束
f (x) 二、反函数的求导法则 定理2. y 的某邻域内单调可导, 证: 在 x 处给增量 由反函数的单调性知 且由反函数的连续性知 因此 ( ) ( ) , 设 y f x 为 x f 1 y 的反函数 f 1 ( y) 在 [ ( )] 0 1 且 f y d d x y 或 x 0, y f (x x) f (x) 0, x y y x x 0时必有y 0, x y f x x 0 ( ) lim lim 0 y y x y x d d 1 [ ( )] 1 f y 1 1 [ ( )] 1 f y 1 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束