例题9(中档题)分式型指数函数 【例8】已知fx) ax+1(a>1) (1)判断f(x)的奇偶性; (2)求f(x)的值域; (3)证明f(x)在区间(一∞,+∞)上是增 函数 解(1)定义域是R f(-x) f(x) ∴函数f(x)为奇函数 (2)函数y=x,∴∵y≠1,∴有a3 >0→-1<y<1, 反函数法,用指数函数值域 即f(x)的值域为(-1,1) 3)设任意取两个值x1、x2∈(-∞,+∞)且x1 f(x1)-f(x2) 2(a (a+1)(a2+1) ,∵a>1,x1<x2,axl<a2,(a1+1) a (a2+1)>0,∴x1)≤x2),故x)在R上为增函数 习资料整理分享
范文 范例 指导 参考 学习 资料 整理 分享 例题 9 （中档题）分式型指数函数 【例8】已知f(x)＝ (a＞1) a a x x − + 1 1 (1)判断 f(x)的奇偶性； (2)求 f(x)的值域； (3)证明 f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增 函数． 解 (1)定义域是 R． f(－x)＝ ＝－f(x)， a a a a x x x x − − − + = − − + 1 1 1 1 ∴函数 f(x)为奇函数． (2) y y 1 a 1 y 1 函数 ＝ ，∵ ≠ ，∴有 x＝ ＞ － ＜ ＜ ， a a y y y y x x − + − − − = + − 1 1 1 1 1 1 0 即 f(x)的值域为(－1，1)． (3)设任意取两个值 x1、x2∈(－∞，＋∞)且 x1＜ x2． f(x1)－f(x2) ＝ ＝ ，∵ ＞ ， ＜ ， ＜ ， ＋ ＋ ＞ ，∴ ＜ ，故 在 上为增函数． a a a a a a a a a a a a x l x l x x x l x x l x x x x x − + − − + − + + 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 ( ) ( )( ) a 1 x x ( 1) ( 1) 0 f(x ) f(x ) f(x) R 1 2 1 2 反函数法，用指数函数值域
范文范例指导参考 变式1设a是实数, f(x)=a-、2 (x∈R)试证明对于任意a,f(x)为增函数 证明:设x1,x2∈R,且x1<x2 则f(x1)-f(x2) 2(21-22) 22+121(21+1)(22+1) 由于指数函数y=2在R上是增函数,且 ,<x 所以2x1<2x2即2x1-2x2<0, 又由2>0得2+1>0,2+1>0 所以f(x1)-f(x2)<0即f(x)<f(x2) 因为此结论与a取值无关,所以对于 取任意实数,f(为增函数 习资料整理分享
范文 范例 指导 参考 学习 资料 整理 分享 变式 1 设 a 是实数， ( ) 2 1 2 f (x) a x R x + = − 试证明对于任意 a, f (x) 为增函数； 证明：设 1 2 x , x ∈R,且 1 2 x x 则 1 2 f x f x ( ) ( ) − 1 2 2 2 ( ) ( ) 2 1 2 1 x x = − − − a a + + 1 2 2 1 1 2 2 2 2(2 2 ) 2 1 2 (2 1)(2 1) x x x x x x − = − = + + + 由于指数函数 y= x 2 在 R 上是增函数,且 1 2 x x , 所以 2 1 2 2 x x 即 2 1 2 2 x − x <0， 又由 x 2 >0 得 1 2 x +1>0, 2 2 x +1>0 所以 ( ) ( ) 1 2 f x − f x <0 即 ( ) ( ) 1 2 f x f x 因为此结论与 a 取值无关，所以对于 a 取任意实数， f (x) 为增函数