范文范例指导参考 【解析】设x,x2∈R且x;<x,并令x2=x1+h(h>0,h∈R,很独特的方 式 则有a2-a=ax+h-a=a(ab-1) ∵a>1,h>0,∴an>0a>1, 故y=a(a>1)为R上的增函数, 理可证0<a<1时,y=a2a<a是R上的减函数 指数函数与二次函数的复合函数(由内到外分析) 例题7 中档题) 二次函数为内层函数,指数函数为外层函数 【例6】求函数y=(3)2-+的单调区间及值域 解令u=x2-5x+6,则y=()是关于u的减函数,而u=x2-5x +6在x∈(-∞,上是减函数,在x∈[,+∞)上是增函数.∴函数 y=(2)2-s+的单调增区间是(-,2,单调制2,+∞) 习资料整理分享
范文 范例 指导 参考 学习 资料 整理 分享 【解析】设 x1，x2∈R 且 x1＜x2，并令 x2 = x1 + h (h＞0，h∈R)，很独特的方 式 则有 ( 1) 2 1 1 1 1 − = − = − x x x +h x x h a a a a a a ， ∵a＞1，h＞0，∴ 0, 1 1 h ax a ， ∴ 0 2 1 − x x a a ，即 故 y = ax (a＞1)为 R 上的增函数， 同理可证 0＜a＜1 时，y = ax 1 2 x x a a 是 R 上的减函数. 【例6】 解 求函数 ＝ 的单调区间及值域． 令 ＝ － ＋ ，则 ＝ 是关于 的减函数，而 ＝ － － ＋ y u x 5x 6 y u u x 5x x 2 5x 6 2 2 ( ) ( ) 3 4 3 4 u ＋ 在 ∈ ∞， 上是减函数，在 ∈ ， ∞ 上是增函数．∴函数 ＝ － ＋ 的单调增区间是 ∞， ，单调减区间是 ， ∞ ． 6 x x y x 2 5x 6 ( ] [ ) ( ) ( ] [ ) − + − + 5 2 5 2 3 4 5 2 5 2 例题 7 中档题） 指数函数与二次函数的复合函数(由内到外分析） 二次函数为内层函数，指数函数为外层函数
又∵∴u=x2-5x+6=(x 4 函数y=(4),在u∈[4,+∞)上是减函数, 所以函数y32-+的值域是(0,√108 变式1求画数y=(上)x2x的单调区阃,并证明之 解法一(在解答题):在R上任取x、x,且x;<x2, x2-2x2 则 y2 =()(x2-x1)(x+x1-2)【()为底数,红色部分为指数】 x1<x,∴x-x1>0 当x、x2∈(-∞,1]时,x1+x2-2<0.这时(x2-x)(x+x;-2)<0,则> ∴y2>y,函敷在(一∞,1]上单调递增. 当x、x∈[1,+∞)时,x1+x-2>0,这时(x-x)(x+x;-2)>0,即 (此处点评:上述证明过程中,在对商式正负判断时,利用了指数函数的值域及单 调性) ∴y2<y,函数在[1,+∞上单调递减 綜上,函教y在(一∞,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减 合作探究:在填空、选抨题中用上述方法就比较麻烦,因此我们可以考虑用复合函 数的单调性来解题 习资料整理分享
范文 范例 指导 参考 学习 资料 整理 分享 又∵ ＝ － ＋ ＝ ≥ ， 函数 ＝ ，在 ∈ ， ∞ 上是减函数， 所以函数 ＝ － ＋ 的值域是 ， ． u x 5x 6 y u y 2 x 2 5x 6 ( ) ( ) [ ) ( ) ( ] x u − − − − + 5 2 1 4 1 4 3 4 1 4 3 4 0 108 3 2 4 变式 1 求函数 y=（ 2 1 ） x 2x 2 − 的单调区间，并证明之. 解法一（在解答题）：在 R 上任取 x1、x2，且 x1＜x2， 则 1 2 y y = 1 2 1 2 2 2 2 2 ) 2 1 ( ) 2 1 ( x x x x − − =（ 2 1 ）（x2－x1）（x2+x1－2） 【（ 2 1 ）为底数，红色部分为指数】 ， ∵x1＜x2，∴x2－x1＞0. 当 x1、x2∈（－∞，1］时，x1+x2－2＜0.这时（x2－x1）（x2+x1－2）＜0，则 1 2 y y ＞ 1. ∴y2＞y1，函数在（－∞，1］上单调递增. 当 x1、x2∈［1，+∞）时，x1+x2－2＞0，这时（x2－x1）（x2+x1－2）＞0，即 1 2 y y ＜ 1. （此处点评：上述证明过程中，在对商式正负判断时，利用了指数函数的值域及单 调性） ∴y2＜y1，函数在［1，+∞上单调递减. 综上，函数 y 在（－∞，1］上单调递增，在［1，+∞）上单调递减. 合作探究：在填空、选择题中用上述方法就比较麻烦，因此我们可以考虑用复合函 数的单调性来解题
范文范例指导参考 解法二、在填空、选择题中(用复合函数的单调性): 对任意的1<x1<x2,有1<2 是减函数 在[1+)是减函数 对任意的x1<x2≤1,有1>2 是减函数 . V1 <y2.y= 在[1,+∞)是增函数 在该问题中先确定内层函数(l 2x)和外层函数(y=2 的单调情况,再 根据内外层函数的单调性确定复合函数的单调性. 变式2已知a>0且a≠1,讨论几(x)=a*232的单调性 【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题 指数一x2+3x+2=(x-=2)+4,当x≥2时是减函数,x≤2时是增画数 而∫(x)的单调性又与0<a<1和a>1两种范围有关,应分类讨论 【解析】设u=-x2+3x+2 习资料整理分享
范文 范例 指导 参考 学习 资料 整理 分享 解法二、在填空、选择题中（用复合函数的单调性）： 设： u x 2x 2 = − 则： u y = 2 1 对任意的 1 1 2 x x ，有 u1 u2 ， 又∵ u y = 2 1 是减函数 ∴ 1 2 y y ∴ x x y 2 2 2 1 − = 在 [1,+) 是减函数 对任意的 x1 x2 1 ，有 u1 u2 又∵ u y = 2 1 是减函数 ∴ 1 2 y y ∴ x x y 2 2 2 1 − = 在 [1,+) 是增函数 在该问题中先确定内层函数（ u x 2x 2 = − ）和外层函数（ u y = 2 1 ）的单调情况，再 根据内外层函数的单调性确定复合函数的单调性. 变式 2 已知 a 0 且 a 1 ，讨论 3 2 2 ( ) − + + = x x f x a 的单调性. 【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题， 指数 4 17 ) 2 3 3 2 ( 2 2 − x + x + = − x − + ，当 x ≥ 2 3 时是减函数， x ≤ 2 3 时是增函数， 而 f (x) 的单调性又与 0 a 1 和 a 1 两种范围有关，应分类讨论. 【解析】设 2 u x x = − + + 3 2 3 17 2 ( ) 2 4 = − − + x
范文范例指导参考 则当x≥一时,l是减函数,当x≤二时,l是增函数, 2 又当a>1时,y=a“是增函数, 当0<a<1时,y=a“是减函数, 所以当a>1时,原画数f(x)=a-2+3x+2在[,+)上是减函数,在(-0/上是 增函数. 当0<a<1时,原函数∫(x)=a-+x*在口,+∞)上是增函数,在(上是减 函数 【小结】一般情况下,两个函数都是增函数或都是减函数,则其复合函数是增函数: 如果两个函数中一增一减,则其复合函数是减函数,但一定注意考虑复合函数的定义 第二课时 例题8:(疑难题)指数函数与二次函数的复合函数 换元法先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元u的范围) 【例7】求函数y=(x)-()2+1(x≥0)的单调区间及它的最大值 1,3 解y=[()]-()+1=[()2-]2+,令u=(),∵x≥0 0<u≤1,又∵u=(是x∈[0,+∞)上的减函数,函数y=(u-2 习资料整理分享
范文 范例 指导 参考 学习 资料 整理 分享 则当 x ≥ 2 3 时， u 是减函数， 当 x ≤ 2 3 时， u 是增函数， 又当 a 1 时， u y = a 是增函数， 当 0 a 1 时， u y = a 是减函数， 所以当 a 1 时，原函数 3 2 2 ( ) − + + = x x f x a 在 , ) 2 3 [ + 上是减函数，在 ] 2 3 (−, 上是 增函数. 当 0 a 1 时，原函数 3 2 2 ( ) − + + = x x f x a 在 , ) 2 3 [ + 上是增函数，在 ] 2 3 (−, 上是减 函数. 【小结】一般情况下，两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数； ；如果两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，但一定注意考虑复合函数的定义 域. 第二课时 例题 8：（疑难题）指数函数与二次函数的复合函数 换元法 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元 u 的范围) 【例7】 解 求函数 ＝ ＋ ≥ 的单调区间及它的最大值． ＝ ，令 ＝ ，∵ ≥ ， ∴ ＜ ≤ ，又∵ ＝ 是 ∈ ，＋∞ 上的减函数，函数 ＝ y 1(x 0) y u x 0 0 u 1 u x 0 ) y ( ) ( ) [( ) ] ( ) [( ) ] ( ) ( ) [ ( ) 1 4 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 3 4 1 2 1 2 1 2 2 2 2 x x x x x x x u − − + = − + −
范文范例指导参考 在u∈(0,上为减函数,在,1)上是增函数.但由0<()≤ 得x≥1,由≤()≤1,得0≤x≤1,∴函数y=()-()+1单调增 区间是[,+∞),单调减区间[0,1 当x=0时,函数y有最大值为1 内层指数函数uF=(1/2)x为减,当u在(0,1/2】时,此时 外层二次f(u为减函数,即x在【1,正无穷大),则复合函数 为增(画草图分析法) 点评:(1)指数函数的有界性(值域):x2≥0;ax>0 (2)上述证明过程中,在两次求ⅹ的范围时,逆向利用了指数 函数的值域及逆向利用了指数函数的单调性,是关键及疑难点。 变式: 求(3)y=4+2+1的值域 解 y=42+2+1 x∈R y=(2)+2.21+1=(2+1), 且 22>0,∴y>1 故y=4+2“+1的值域为yy>l 【小结】求与指数函数有关的函数的值域 时,要注意到充分考虑并利用指数函数本身的 要求,并利用好指数函数的单调性 习资料整理分享
范文 范例 指导 参考 学习 资料 整理 分享 + − 3 4 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 2 在 ∈ ， 上为减函数，在 ， 上是增函数．但由 ＜ ≤ 得 ≥ ，由 ≤ ≤ ，得 ≤ ≤ ，∴函数 ＝ ＋ 单调增 区间是 ，＋∞ ，单调减区间 ， u 1) 0 x 1 1 0 x 1 y 1 1 ) [0 1] ( ] [ ( ) ( ) ( ) ( ) [ x x x x 当 x＝0 时，函数 y 有最大值为 1． 内层指数函数 u=(1/2)x 为减，当 u 在（0，1/2】时，此时 外层二次 f（u)为减函数，即 x 在【1，正无穷大），，则复合函数 为增（画草图分析法） 点评：（1）指数函数的有界性（值域）：x2≥0; ax>0 （2）上述证明过程中，在两次求 x 的范围时，逆向利用了指数 函数的值域及逆向利用了指数函数的单调性，是关键及疑难点。 变式： 求（3） 4 2 1 1 = + + x x+ y 的值域. 解 1 4 2 1 x x y + = + + x R y 2 2 (2 ) 2 2 1 (2 1) , x x x = + + = + 且 2 0, y 1 x . 故 4 2 1 1 = + + x x+ y 的值域为 {y | y 1}. 【小结】求与指数函数有关的函数的值域 时，要注意到充分考虑并利用指数函数本身的 要求，并利用好指数函数的单调性