6经过振幅阻尼的作用之后，系统量子态的布洛赫向量是r=V1-psincosgr,=rV1-psingsingr= p+r(1 -p)cos 当p=1时，系统的状态是一个纯态[0)(0I退极化(depolarization)顾名思义，退极化过程导致量子态的布洛赫向量的长度逐渐减小，直至为零，最终变为最大混合态1/2.设系统的初态是p，演化过程是1→p=+(1-p)p上式的意思很明确：系统的状态以几率p变为最大混合态，以几率1－p保持不变.注意到对于C2上的任意的量子态p,有1-(p+0xpox+0ypoy+0zpo2)2-49退极化过程的结果可以改写为p+(xpox+ypoy+02po2)=由此可以得到Kraus算符1.Ki=xx，K2=。Kg=Ko=(19)2042虽然量子态的演化可以用Kraus算符表示，但是这并不是一个随时间变化的微分方程在随时间作酉演化的情形下，密度矩阵满足的微分方程是Schrodinger方程。对于非酉演化，也应该有相应的微分方程描述密度矩阵随时间的变化.这需要对量子系统和环境进行更详尽的讨论，而本节的内容只是初步的简述广义量子测量让我们从量子系统演化的角度来看量子测量.系统的初态暂设为纯态=）《l用一组Kraus算符（K表示量子态的保迹的演化，→p=u,I=1(20)uu一方面，可以说系统的状态从到p是一个演化过程，另一方面，也可以说这是一个操作过程，下面阐述其中的操作意义操作算符和效果算符让我们换一个视角回顾Kraus算符K的推导过程。注意到亚(t）是t时刻系统和仪器的整体量子态的密度矩阵，设想在这个时刻我们测量仪器的力学量M，而且M的本征值和本征向量分别设为mu和Iu)，即M
6 经过振幅阻尼的作用之后, 系统量子态的布洛赫向量是 r 0 x = r p 1 p sin cos ' r 0 y = r p 1 p sin sin ' r 0 z = p + r(1 p) cos 当 p = 1 时, 系统的状态是一个纯态 j0ih0j. 退极化 (depolarization) 顾名思义, 退极化过程导致量子态的布洛赫向量的长度逐渐减小, 直至为零, 最终变为最大混合态 1/2. 设系统的 初态是 , 演化过程是 ! 0 = p 1 2 + (1 p) 上式的意思很明确: 系统的状态以几率 p 变为最大混合态, 以几率 1 p 保持不变. 注意到对于 C 2 上的任意的量 子态 , 有 1 2 = 1 4 ( + xx + yy + zz) 退极化过程的结果可以改写为 0 = 1 3p 4 + p 4 (xx + yy + zz) 由此可以得到 Kraus 算符 K0 = r 1 3p 4 1; K1 = pp 2 x; K2 = pp 2 y; K3 = pp 2 z (19) 虽然量子态的演化可以用 Kraus 算符表示, 但是这并不是一个随时间变化的微分方程. 在随时间作酉演化的情形 下, 密度矩阵满足的微分方程是 Schrödinger 方程. 对于非酉演化, 也应该有相应的微分方程描述密度矩阵随时间 的变化. 这需要对量子系统和环境进行更详尽的讨论, 而本节的内容只是初步的简述. 广义量子测量 让我们从量子系统演化的角度来看量子测量. 系统的初态暂设为纯态 = j ih j. 用一组 Kraus 算符 fKg 表示 量子态的保迹的演化, ! = X K K ; X K K = 1 (20) 一方面, 可以说系统的状态从 到 是一个演化过程, 另一方面, 也可以说这是一个操作过程. 下面阐述其中的操 作意义. 操作算符和效果算符 让我们换一个视角回顾 Kraus 算符 K 的推导过程. 注意到 Ψ(t) 是 t 时刻系统和仪器的整体量子态的密度矩 阵, 设想在这个时刻我们测量仪器的力学量 M, 而且 M 的本征值和本征向量分别设为 m 和 ji, 即 M =
7Zmμl)《ul当我们得到结果m的时候，仪器的量子态是Iu).这就是用投影算符IM=lu)(μl作用于仪器的结果.从整体上来看，就要用19IⅡIM作用于亚(t)，于是我们有(t) →(1°IM)d(t)(10IM)=(uuuw)(vlgv")lu)ulVUA(21)=(KyK)μ)(ul其中最后一步用到了（4)式.在仪器上得到结果mμ的几率是Pu= Tr[(1 IM)(t)(1M))= Tr(KK)) = Tr(Ku)(22)令KuVK,(23)Pu=Pμ显然，Pu满足密度算符的定义和性质，它描述了系统的量子态。示意图2描述了上述过程。于是，我们这样描述(21)式：当系统和仪器建立了特定的相互作用并演化为亚(t)之后，测量仪器的力学量M,以几率pu得到结果mμ，此时仪器的状态是Iu)，系统的状态是Pu.考虑所有的测量结果，可以说，对仪器的测量导致了系统的状态从初态变成了一个系综（pu，Pu),该系综的平均量子态是p-pupu-Kut(24)YA这也就是本小节开始的（20）式，但是在这里，同样形式的方程具有了操作上的涵义.Kraus算符不仅被用来描述一般情形下系统量子态的演化，而且还体现了在间接测量的过程中对仪器的操作（即测量）所导致的对系统的影响正是在这个意义上，我们把Kraus算符K称为操作算符Pu=KuKI/p山U(t)f(t)?得到测量结果 m,4图2:广义量子测量虽然在上面的讨论中，我们借助测量仪器来描述Kraus算符的操作意义，但是也可以削弱仪器的作用而直接说：对处于初态的系统进行某种操作，操作过程和结果由一组Kraus算符（Ku）决定，每一个算符K对应于一个特定的结果mu，结果mu出现的几率是pu=Tr(KuK）=Tr(Ku)，与结果mμ对应的量子态是KμK/pu考虑所有的结果,有(24)式注意几率pu的表达式(22)式,结果mu出现的几率是由KK决定的.令Eu=KlKu，算符Eμ是（半）正定的即Eμ≥0.在保迹情形下，ZEu=12.我们把Eu称为效果算符，它是Bom规则在较为一般的情形下的体现，即Tr(Eu）等于对量子态进行操作的过程中出现结果mμ的几率.如果对系统的操作是投影测量，那么一方面
7 P m jihj. 当我们得到结果 m 的时候, 仪器的量子态是 ji. 这就是用投影算符 ΠM = jihj 作用于仪 器的结果. 从整体上来看, 就要用 1 Q ˝ ΠM 作用于 Ψ(t), 于是我们有 Ψ(t) !(1 Q ˝ Π M )Ψ(t)(1 Q ˝ Π M ) = X 0 u u 0 ˝ hj j 0 i jihj = K K ˝ jihj (21) 其中最后一步用到了 (4) 式. 在仪器上得到结果 m 的几率是 p = Tr1 Q ˝ Π M )Ψ(t)(1 Q ˝ Π M ) = Tr K K = Tr K K (22) 令 = 1 p K K (23) 显然, 满足密度算符的定义和性质, 它描述了系统的量子态. 示意图 2 描述了上述过程. 于是, 我们这样描述 (21) 式: 当系统和仪器建立了特定的相互作用并演化为 Ψ(t) 之后, 测量仪器的力学量 M, 以几率 p 得到结果 m, 此时仪器的状态是 ji, 系统的状态是 . 考虑所有的测量结果, 可以说, 对仪器的测量导致了系统的状态从初态 变成了一个系综 fp; g, 该系综的平均量子态是 = X p = X K K (24) 这也就是本小节开始的 (20) 式, 但是在这里, 同样形式的方程具有了操作上的涵义. Kraus 算符不仅被用来描述一 般情形下系统量子态的演化, 而且还体现了在间接测量的过程中对仪器的操作 (即测量) 所导致的对系统的影响. 正是在这个意义上, 我们把 Kraus 算符 K 称为操作算符. Ut t 得到测量结果 =KK † p m 图 2: 广义量子测量 虽然在上面的讨论中, 我们借助测量仪器来描述 Kraus 算符的操作意义, 但是也可以削弱仪器的作用而直接说: 对 处于初态 的系统进行某种操作, 操作过程和结果由一组 Kraus 算符 fKg 决定, 每一个算符 K 对应于一个特定 的结果 m, 结果 m 出现的几率是 p = Tr K K = Tr K K , 与结果 m 对应的量子态是 K K /p, 考虑所有的结果, 有 (24) 式. 注意几率 p 的表达式 (22) 式, 结果 m 出现的几率是由 K K 决定的. 令 E = K K, 算符 E 是 (半) 正定的, 即 E > 0. 在保迹情形下, P E = 1 Q. 我们把 E 称为效果算符, 它是 Born 规则在较为一般的情形下的体现, 即 Tr(E ) 等于对量子态 进行操作的过程中出现结果 m 的几率. 如果对系统的操作是投影测量, 那么一方面