小结 随机实验 三个限定条件 基本事件 随机事件1复合事件 基本概念 必然事件 不可能事件 样本点 样本空间 所有基本事件构成的集合 事件的关系及运算 四种关系和三种运算 定义— 定义在样本空间上满足三条公理的集合函数 概率 性质一5条 非负有界性 规范性 可列可加性
随机实验 随机事件 样本空间 事件的关系及运算 小结 基本概念 概率 基本事件 复合事件 必然事件 不可能事件 三个限定条件 —— 所有基本事件构成的集合 —— 四种关系和三种运算 定义 —— 5条 —— 定义在样本空间上满足三条公理的集合函数 基本事件 样本点 三条公理 非负有界性 规范性 可列可加性 性质
用概率的公理化定义，从实验出发直接计算P(A)是 困难的，甚至是不可能的 某些满足特定条件的实验可以直接计算. 基本事件的发生具有等可能性 §1.2.4等可能概型 一、古典概型 定义若随机试验E具有以下两个特征： (1)E的样本空间只有有限多个样本点，即2={o,02,…,⊙n}; (2) 试验中每个样本点出现的可能性相同， 则称E为古典概率模型，简称古典概型 有限等可能随机试验 古典概型中事件概率的计算？
用概率的公理化定义，从实验出发直接计算 P(A)是 困难的， 某些满足特定条件的实验可以直接计算 . 基本事件的发生具有等可能性 §1.2.4 等可能概型 一、古典概型 定义 若随机试验 E 具有以下两个特征： (1) E 的样本空间只有有限多个样本点， (2) 试验中每个样本点出现的可能性相同， 即 {1 ,2 , ,n }; 则称E 为古典概率模型，简称古典概型 . 有限等可能随机试验 古典概型中事件概率的计算？ 甚至是不可能的
由于2={o,}+{o2}+…+{0n} ∴.1=P(2)=P(o1)+P(o2)+·+P(on), 又由于各样本点出现的可能性相同， .P(@,)=i=l,2,,n 设事件A由k个样本点组成，即A={0i1,02,,0i}, 由可加性知A的概率为： P八4)=片=食的联本点数 2中的样本点总数 称此概率为古典概率.这种确定概率的方法称为古典方法. 这样就把求概率问题转化为计数问题. O
这样就把求概率问题转化为计数问题 . 设事件 A由 k个样本点组成 ，即 称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法称为古典方法 . 由于 1 2 { } } { } { n 1 P() P(1) P(2 ) P(n), 又由于各样本点出现的可能性相同， , 1,2, , ; 1 ( ) i n n P i 由可加性知 A的概率为： { , , , }, A i1 i 2 i k ( ) ( ) ( ) P i 1 P i 2 P ik n k A 包含的样本点数 中的样本点总数 中的样本点总数 包含的样本点数 A n k P(A)
例1 同时掷两枚均匀硬币，分别求事件A={两枚都出现正 面}，B={一枚出现反面}和C={两枚都出现反面}的概率. 解 同时掷两枚硬币有4个等可能的结果，即样本空间为 2={(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）月古典概型 又事件A,B,C分别包含1个、2个和1个样本点， PA0=P(=子= ；PC=} 列举法 排列组合是计算古典概率的重要工具 这里我们先简要复习一下计算古典概率所要用到的基本计数原理
同时掷两枚均匀硬币，分别求事件A={两枚都出现正 面}, B={一枚出现反面} 和 C={两枚都出现反面}的概率. 解 同时掷两枚硬币有4个等可能的结果，即样本空间为 例1 ={(正,正), (正,反), (反,正), (反,反)} 4个等可能 古典概型 又事件A, B, C 分别包含 1个、2个和 1个样本点， ; 4 1 P(A) ; 2 1 4 2 P(B) . 4 1 P(C) 排列组合是计算古典概率的重要工具 列 举 法 这里我们先简要复习一下计算古典概率所要用到的基本计数原理
1.加法原理 设完成一件事有种方式，无论通过哪种方式都可以完成这件事， 第1种方式有n1种方法，第2种方式有n2种方法，…；第m种方式有nm种方法， 则完成这件事共有n1+2+…+nm种不同的方法 2.乘法原理 设完成一件事有个步骤，必须通过每一步骤，才算完成这件事， 第1个步骤有种方法，第二个步骤有n2种方法，·；第m个步骤有nm种方法， 则完成这件事共有1×n2×…×nm种不同的方法 这两个计数原理不但可直接解决不少具体问题，也是推导下面常用排列组合公式的基础 排列组合的公式 选排列 A=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)= n! (n-k): A的=C·k! 1.排列 全排列 Ag=An=n(n-1)(n-2)…21=n: 允许重复的排列n·n…n=nk 组合不管顺序 2.组合 Ch=4= n! k (n-k)!k!
第1个步骤有n1种方法, 第二个步骤有n2种方法, „ ; 第m个步骤有nm种方法, 1. 加法原理 设完成一件事有m种方式，无论通过哪种方式都可以完成这件事， 第1种方式有n1种方法, 第2种方式有n2种方法,„ ; 第m种方式有nm种方法, 则完成这件事共有 n1 + n2 + „ + nm 种不同的方法 2. 乘法原理 设完成一件事有m个步骤, 必须通过每一步骤, 才算完成这件事, 则完成这件事共有 n1 n2 „ nm 种不同的方法 这两个计数原理不但可直接解决不少具体问题, 也是推导下面常用排列组合公式的基础 . 1. 排列 2. 组合 排列组合的公式 ( )! ! ( 1)( 2) ( 1) n k n A n n n n k k n A An n(n 1)(n 2) 2 1 n! n n k n nn n ( )! ! ! ! n k k n k A C k k n n A C k! k n k n 选排列 全排列 允许重复的排列 组合不管顺序