上海交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（课件讲稿）12、大数定律和中心极限定理

第五章大数定律和 中心极限定理

第五章 大数定律和 中心极 限 定 理

概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 只有在相同的条件下进行大量重复试验时，随机现象的规律性 才会呈现出来.也就是说，要从随机现象中 寻求必然的法则，应该研究大量随机现象. 研究大量的随机现象，极限工具无疑 是最有效的方法.这导致了对极限定理的 研究. 极限定理包含的内容很广泛，其中最重要的有两类： 大数定律与中心极限定理 我们先介绍

极限定理包含的内容很广泛, 只有在相同的条件下进行大量重复试验时, 随机现象的规律性 才会呈现出来. 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 研究大量的随机现象, 极限工具无疑 是最有效的方法. 大数定律 与 中心极限定理 我们先介绍 也就是说,要从随机现象中 寻求必然的法则, 应该研究大量随机现象. 这导致了对极限定理的 研究. 其中最重要的有两类:

§5.1大数定律 大量抛掷硬币 正面出现频率 生产中的废品率 字母使用频率 n次重复测量的结果的平均值不，会X, n越大，X对真值a的偏差就越小 大量随机现象中平均结果的稳定性：由于大量的随机现象中， 个别随机现象所引起的偏差会相互抵消和补偿，致使大量随机现 象的共同作用的总平均结果趋于稳定一大数定律的客观背景 大数定律以严格的数学形式表达了算术平均值及频率稳定性的 确切含义.表达方式：研究一些概率接近以1（或0）的事件的规律 即对独立随机序列极限理论中的必然事件的一种概率描述. 先介绍两个基本概念

大数定律以严格的数学形式表达了算术平均值及频率稳定性的 确切含义. 表达方式: 研究一些概率接近以 1(或 0 )的事件的规律. 致使大量随机现 象的共同作用的总平均结果趋于稳定 由于大量的随机现象中, 个别随机现象所引起的偏差会相互抵消和补偿, 大量抛掷硬币 正面出现频率 生产中的废品率 字母使用频率 …… §5.1 大 数 定 律 大量随机现象中平均结果的稳定性： 先介绍两个基本概念   n i Xn n Xi 1 1 n 次重复测量的结果的平均值 n 越大, X 对真值 a 的偏差就越小 即对独立随机序列极限理论中的必然事件的一种概率描述. ——大数定律的客观背景

定义1 设X,X,…是一随机变量序列，若存在常数C, 3V8>0,总有 iP(IX。-C1<e)=1, 则称随机变量序列{X}以概率收敛于C,记为XmP→C, 当n足够大时，Xm几乎总取接近C的值， 即mXn=C(P). ◆若XmP→，Ym”→b,且函数g(k,y)在点(a,b)连续，则 g(Xm,Yn)P→g(a,b), 连鞏荽概 P.126 定义2126)设X,X,是随机变量序列令X=元名X,n=12, 若存在常数列4，使得对任意的8>0，总有 常取为EXn lim P(IX-aka=1, 则称随机变量序列X服从大数定律.是对同一 客观事物的不同表述 Xm服从大数定律台 Xn-an- P→0 将有关以概率收敛的结论统称为大数定律

若存在常数C, 将有关以概率收敛的结论统称为大数定律 若存在常数列 an, 使得对任意的  > 0, 总有 lim ( |  | )  1,  P Xn C  n 则称随机变量序列{Xn} 以概率收敛于C , X C, P 记为 n  ( ). lim Xn C P n  当  n 足够大时, Xn几乎总取接近 C 的值, 定义2(P.126 ) 设X1,X2,… 是随机变量序列, , 1 1   n i n Xi n 令 X 总有 lim (|  | )  1,  n n  n P X a 则称随机变量序列 Xn 服从大数定律. 常取为 EXn Xn服从大数定律   0 P Xn an 是对同一客观事物的不同表述 即 若 X a, Y b, P n P n   且函数 g(x,y)在点(a,b)连续, g(X ,Y ) g(a,b), P n n  则 n=1,2,… 连续保持以概 率收敛性 P.126 定义1    > 0, 设 X1,X2,… 是一随机变量序列

例1设X是一个相互独立的随机变量序列，且 P(Xn=1)=Pn(0<pnm<1),P(Xn=0)=m,(9n=1-Pm),n=1,2,, 证明X服从大数定律 证X,~B(l,p）,令x,=n名Xi,由Chebyschev7不簑式， 对任意的e>0,总有 ≤1/4 P(Xn-EXn|≥E)≤ 合DX: 4pnn≤(pn+qn)2=1 2 n282 应用中经常 4n2e2 4nε2 将Ln取为EXm → IimP(|Xm-EXm|<)=L,所以Xn服从大数定律 1→o0 我们关心的是： 随机变量序列X具有什么特性时，它就服 从大数定律. 相应于这些不同的特性，大数定律也有其不同的表现形式. 我们只介绍三个最著名的大数定律

 1/4 例1 设 Xn 是一个相互独立的随机变量序列, (  1)  ( 0 1), P Xn pn pn 且 证明 Xn 服从大数定律. 证 Xn ～ B(1, pn), , 1 1   n i 令 Xn n Xi 由Chebyschev不等式知, 对任意的  > 0, 总有 2 (| | )   n n n DX P X EX   2 2 1 n  DXi n i    2 2 4 2 1 4n  n n   0,    n  lim (|  | )  1,  n n  n P X EX 2 2 1 n  p qi n i  i   所以 Xn 服从大数定律. 我们关心的是: 随机变量序列 Xn 具有什么特性时, 它就服 从大数定律. 我们只介绍三个最著名的大数定律. 相应于这些不同的特性, 大数定律也有其不同的表现形式. 1, 2, , P( Xn  0)  qn , (qn 1 pn), n   应用中经常 将 an 取为 EXn 4 ( ) 1 2 pn qn  pn qn 