复习 上节我们研究了概率的计算问题 舌典概型 直接计算 几何概型 等可能性 有无数值关系？ 条件概率 一B发生的条件下A的条件概率P(AB) P(AB) 推算 P(AlB)= P(B) 一 般地不等于A的无条件概率. 什么条件下才会出现P(A)=P(AB)的情形呢？ 乘法公式一给出了计算多个事件同时发生的概率， 当P(A1A2Am-1)>0时，有 P(AA2...A)=P(A)P(A2A)P(A3AA2). …P(AmlA1A2…An-1） 在计算概率时经常使用，需要牢固掌握
等可能性 条件概率 乘法公式 — B 发生的条件下 A的条件概率P(A|B) 一般地不等于A的无条件概率. — 给出了计算多个事件同时发生的概率， 复习 古典概型 几何概型 上节我们研究了概率的计算问题 直接计算 推 算 什么条件下才会出现 P(A)=P(A|B)的情形呢？ 在计算概率时经常使用，需要牢固掌握. 有无数值关系？ 当 P(A1A2…An-1)> 0 时，有 P(A1A2…An)= P(A1)P(A2 |A1)P(A3 |A1A2) „ „ P(An| A1A2…An-1) ( ) ( ) ( | ) P B P AB P A B
事件的独立性 （p.2714 般地P(AB)≠P(A) 例子 将一颗均匀骰子连掷两次，设A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}，显然P(AB)=P(A), 这表明，事件B发生，并不影响事件A发生的概率. 若P(AB)=P(A),由乘法公式P(AB)=P(B)P(AB)知， P(AB)=P(A)P(B) 反之，若P(AB)=P(A)P(B),且P(B)>0, P(A)=P(AB)/P(B)=P(AP(P23.Th1) 在条件P(B)>0下，P(AB)=P(A)台P(AB)=P(A)P(B). 定义(P.37定义8)若事件A,B满足P(AB)=P(A)P(B),则称事件 A与B相互独立.简称独立. 比用P(AB)=P(A)或P(BA)=P(B)好， 不受P(B)>0或P(A)>0的制约 不可能事件与任一事件都是相互独立的 必然事件/ E
则称事件 A与 B相互独立 . 设 A ={第二次掷出6点}， B ={第一次掷出6点}， 定义(P.37 定义8) 若事件A, B 满足P(AB)= P(A)P(B), 三. 事 件 的 独 立 性 (p.27 1.4) 简称独立 . 不可能事件与任一事件都是相互独立的 一般地 P(A|B)≠ P(A) 例子 将一颗均匀骰子连掷两次， 显然 P(A|B)= P(A)， 这表明, 事件B发生, 并不影响事件A 发生的概率. 若 P(A|B)= P(A)， P(AB)=P(A)P(B) 必然事件 ⁄ 比用 P(A|B)=P(A) 或 P(B|A)=P(B) 好, 不受P(B)>0 或 P(A)>0的制约 由乘法公式 P(AB)=P(B)P(A|B)知， 反之, 若P(AB)=P(A)P(B), 且P(B)>0, 则 P(A)= P(AB)/P(B)= P(A|B) 在条件 P(B)>0下， P(A|B)= P(A) P(AB)=P(A)P(B). (P23.Th1)
例1从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}，问A、B是否独立？ 解 由于P(A)=4/52=1/13, P(B)=26/52=1/2, P(AB)=2/52=1/26. 显见，P(AB)=P(A)P(B), 所以事件A、B独立. 也可以通过计算条件概率去做： 由于P(A)=1/13, P(AB)=2/26=1/13, 显见P(A)=P(AB),所以事件A、B独立 实际应用中住往根据问题的实际意义判断两事件是否独立 例如：甲、乙两人向同一目标射击，记A={甲命中}，B={乙命中}， A与B是否独立？ 由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概即一事件发生与否并不影 帝响另一事件发生的概率)，故可认为A与B独立
(即一事件发生与否并不影 响另一事件发生的概率), 记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的 }， 显见, P(AB)=P(A)P(B)， 由于 P(A)= 4/52 = 1/13 , 所以事件A、B独立. 问A、B是否独立？ 解 P(AB) = 2/52 = 1/26. P(B)= 26/52 = 1/2 , 也可以通过计算条件概率去做: 由于 P(A) = 1/13, 显见 P(A)= P(A|B), P(A|B)= 2/26 = 1/13, 所以事件A、B 独立. 实际应用中往往根据问题的实际意义判断两事件是否独立 例如: 甲、乙两人向同一目标射击, A与 B 是否独立？ 记 A={甲命中}, B={乙命中}, 由于 “甲命中” 并不影响 “ 乙命中” 的概 率 故可认为 A 与 B 独立 . 例1 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张
又如：一批产品共件，从中抽取2件，设A={第i件是合格品}1,2， 若抽取是有放回的，因为第一次抽取的结果不会 影响第二次抽取结果，所以A1与A独立 若抽取是无放回的，因为第一次抽取的结果会影 响到第二次抽取结果，则A1与A2不独立 Th2(P.198) 若两事件A、B独立，则 A与B,A与B,A与B 也相互独立 证仅证A与B独立. 概率的性质 P(AB)=P(A-AB)=P(A)-P(AB) A、B独立 =P(A)-P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)] =P(A)P(B) 故A与B独立
因为第一次抽取的结果不会 影响第二次抽取结果, 从中抽取2件, 设Ai={第 i 件是合格品} i=1, 2, 若抽取是有放回的, 因为第一次抽取的结果会影 响到第二次抽取结果, 若抽取是无放回的， 又如：一批产品共n件， 所以 A1与 A2独立. 则 A1与 A2不独立. 易证, 若两事件 A、B 独立,则 A与B, A与B, A与B 也相互独立. 证 仅证A与 B 独立. P(AB) P(A AB) A、B 独立 = P(A) - P(AB) 概率的性质 = P(A)- P(A)P(B) = P(A)[1-P(B)] P(A)P(B) 故A与 B 独立 . Th2(P.198)
两个事件独立的定义可以推广到三个事件 对于三个事件A、B、C,若下面的四个等式 P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) 两两独立 反之？ P(BC)=P(B)P(C) 对n(n>2)个事件 P(ABC)=P(A)P(B)P(C), 两两独立力相互独立 同时成立，则称事件A、B、C相互独立. 可类似写出n个事件的独立性定义： 设A1,A2,,An是n个事件，如果对其中任意一组事件 Ai,A2,,Ai(1<k≤n）,有 P(AA,…A)=P(A)P(A)…P(A) 则称事件A1,A2,,Am为相互独立 等式总数为：C%+C+…+Cm=(1+1)”-Ch-C9=2"-n-1
P(AB)= P(A)P(B), P(AC)= P(A)P(C), P(BC)= P(B)P(C), P(ABC)= P(A)P(B)P(C), 对于三个事件A、B、C，若下面的四个等式 两个事件独立的定义可以推广到三个事件 可类似写出 n 个事件的独立性定义： 则称事件A、B、C相互独立 . 则称事件 A1, A2, …,An 为相互独立 . 等式总数为： 2 3 n C C C n n n 1 0 (1 1) n n n C C 2 n1. n 同时成立, 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) P A A A P A P A P A i i i i i i k k 设 A1,A2, …,An 是 n 个事件，如果对其中任意一组事件 Ai1 , Ai 2 , , Ai k (1< k ≤ n), 有 两两独立 对n(n>2)个事件 两两独立 相互独立 反之？