§2.4f 随机变量函数的分布 已知圆轴截面直径d的分布， 求截面面积A=π的分布. 4
已知圆轴截面直径 d 的分布， 4 2 求截面面积 d A= 的分布. §2.4 随机变量函数的分布
再如，己知t=t。时刻噪声电压V的分布， 求功率W=V2/R(R为电阻)的分布等 在实际中，人们常常对随机变量X的函数=g(X) 所表示的随机变量Y更感兴趣 设随机变量X的分布已知，又Y=g()(设g是连续函数) 如何由X的分布 无论在实践中还是 求出Y的分布？ 在理论上都是重要的 通过实例找方法
再如, 求功率 W=V 2 / R (R为电阻）的分布等. 已知t =t 0 时刻噪声电压V 的分布, t t0 0 V 在实际中，人们常常对随机变量X的函数Y= g (X) 所表示的随机变量Y更感兴趣 设随机变量X 的分布已知,又Y= g (X) (设g是连续函数) 无论在实践中还是 在理论上都是重要的 如何由 X 的分布 求出 Y 的分布？ 通过实例找方法
离散型随机变量函数的分布 X -2 -1 2 例1(P.55例1) 然Y=2X+1,Y=X2的分布列 Pk 1/101/5 2/51/5 1/10 解X取值分别为-2，-1,0,1,2时，Y=2X+1对应值为-3，-1,1,3,5. (X取某值与Y取其对应值是相同的事件，两者的概率应相同) P(Y=-3)=P(X=-2)=1/10; P(Y=)月P(X=1)=1/5; P(Y=-1)=P(X=-1)=1/5; P(Y=5≠P(X=2)=1/10; P(Y=0)=P(X=1)=2/5; Y=2X-1 -3 -1 1 3 5 Pk 1/10 1/5 2/51/51/10 -2,2 → 4 P(Y=0)=P(X=0)=2/5; Y=X2 -1,1 〉 1 P(Y=1)=P(X=-1)+P(X=1) 0 →0 =1/5+1/5=2/5; Pk 2/5 2/5 1/5 P(Y=4)=P(X=-2)+P(X=2)=1/10+1/10=1/5; 般地，离散型随机变量X的分布律为 X X1 X2 Xn P P2 Pn 则Y=g()的分布律为 Y=g(X) gx1） g(x2) g(xn) Pk Pi P2 Pn 若g(化)中有相等值，将它们对应的概率相加后和并成一项即可
例1(P.55 例1) ( X 取某值与 Y 取其对应值是相同的事件,两者的概率应相同 ) 一、离散型随机变量函数的分布 解 Y=2X-1 -3 -1 1 3 5 pk 1/10 1/5 2/5 1/5 1/10 则 Y=g(X)的分布律为 X 取值分别为 -2, -1, 0, 1, 2 时, Y=2X+1 对应值为-3, -1, 1, 3, 5. 1/10; 求Y=2X+1,Y=X2的分布列. X Y=X2 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 P(Y 0) P(X 1) 2/ 5; P(Y 1) P(X 1) P(Y 3) P(X 2) X -2 -1 0 1 2 pk 1/10 1/5 2/5 1/5 1/10 1/ 5; P(Y 3) P(X 1) 1/ 5； P(Y 5) P(X 2) 1/10; -2, 2 4 -1, 1 1 0 0 Y=X2 0 1 4 pk 2/5 2/5 1/5 一般地，离散型随机变量 X 的分布律为 X x1 x2 … xn … pk p1 p2 … pn … Y= g(X) g(x1) g(x2) … g(xn) … pk p1 p2 … pn … 将它们对应的概率相加后和并成一项即可 P(Y 0) P( X 0) 2 / 5; P(Y1) P(X1) P(X1) 1/5 1/5 2/5; P(Y4) P(X2) P(X2) 1/10 1/10 1/5; 若g(xk)中有相等值
二、连续型随机变量函数的分布 例25例2)设X具有概率密度fx()={0, x/8,0<x<4 其它 求Y=-2X+8的概率密度 解设Y的分布函数为Fy(y), 则Fy)CX裂P-2X8≤以， 9p(x芝8)=fx0d, 于是Y的概率密度为 0-品学f.@=-8y=人 d 注意到0<x<4时，fx(x)≠0， 即0<y<8时，(80， 8，0 此时-.{ <y<8; 其它
则 FY ( y ) = P(Y y)= P(-2X+8 y), 解 设Y 的分布函数为 FY ( y )， 例2(P.55 例2) 设 X 具有概率密度 0, 其 它 / 8, 0 4 ( ) x x f X x 求 Y =-2X+8 的概率密度. ) 2 8 ( y P X 于是Y 的概率密度为 dy dF y f y Y Y ( ) ( ) 二、连续型随机变量函数的分布 注意到 0 < x < 4 时， f (x) 0, X 即 0< y <8 时， ) 0, 2 8 ( y f X 此时 , 16 8 ) 2 8 ( y y f X 0, . , 0 8 ; 32 8 ( ) 其它 y y fY y ② ( ) , 2 8 f t dt y X ) 2 8 ) ( 2 8 ( y y f t dt f X dy d y X 2 8 ( ) 2 1 ) 2 8 ( y f X ①
例3设X具有概率密度fx(x), 求Y=X2的概率密度. 解设Y和X的分布函数分别为Fy(y)和Fxc), 注意到Y=X2≥0，故当y≤0时Fr(y)=0; 当y>0时，F,U)=P(Y≤y)P(X2s) =P(-Vy≤X≤Vy)=Fx(Vy)-Fx(-Vy), o-.国+l0 求导可得 0, y≤0. 若fx()=e，-<r<o (P70例26) 则x的概率密度为0)=2可e，少0； Y服从自由度为1的x2分布 ≤0
设 X 具有概率密度 f X (x), P( y X y ) 求导可得 dy dF y f y Y Y ( ) ( ) 当 y>0 时, F ( y) P(Y y ) Y ( ) 2 P X y 注意到 Y=X20，故当 y 0时，FY ( y) = 0; 解 设Y 和X 的分布函数分别为FY ( y) 和 FX (x)， FX ( y ) FX ( y ), 例3 , 2 1 ( ) 2 2 e x f X x 若 x 则 Y=X2 的概率密度为 0, 0. , 0; 2 1 ( ) 2 y y f y y e y Y ② ① Y 服从自由度为1 的 2 分布 求Y=X2 的概率密度. 0 , y 0 . , 0; ( ) ( ) 2 1 f y f y y y X X (P70 例26)