复习X与Y的联合分布F(x,y)=P{X≤x,Y≤y} 分布 离散型F(x,y)=PX≤七，Y≤y}=∑P xi≤，ys 函数1 连续型F(x,y)=∫.f(u,)u (X,)关于X和Y的边缘分布Fx(x)=F(x,+o),Fy(y)=F(+o,y) 边缘 离散型 关于X的P=月P=P(X=x,Fx()2P x:≤x 关于Y的 分布 连续型 关于X的fx(x)=fc,y),Fx(x)=」f(u,y)d 关于Y的 P过 二维随机变量的条件分布 离散型P{X=x,Y=y}= 连续型fwxI)=f” Fnxn=Cfu恤， fr(y) f(x,y)=fxr(xly).fy(y) X与Y相互独立P(XKx,Y≤y)=P(X≤x)·P(Y≤y)F(c,y)=Fx(x)F,(y) 离散型 p=pi。Pj, P(X=xilY=y}=Pi.,P{Y=yiX=x}=p.j 连续型fx,y)=fx(x)f(y), fxir(xy)=fx(x),fyx(yx)=fy(y) 独立随机变量X,Y的连续函数g1(X),g2(Y)仍是独立的随机变量 例如：X与Y独立→X+b与er独立
复习 分布 函数 离散型 连续型 x x y y ij i j F x y P X x Y y p , ( , ) { , } y x F(x, y) f (u,v)dudv 边缘 分布 离散型 连续型 ( ) ( , ) , f X x f x y dy X 与Y 的联合分布 F(x, y) P{X x, Y y} (X,Y)关于X 和Y 的边缘分布 F (x) F(x,), X F ( y) F( , y) Y 关于X 的 关于Y 的 关于X 的 关于Y 的 { }, 1 i j i ij p p P X x x x X i i F ( x) p x FX (x) [ f (u, y)dy]du 二维随机变量的条件分布 离散型 连续型 { | } , j ij i j p p P X x Y y , ( ) ( , ) | ( | ) f y f x y f x y Y X Y ( , ) , f (x, y) f X|Y (x | y) fY ( y) ( ) 1 ( ) f u y du f y F x y x Y X Y X 与 Y 相互独立 P(X x, Y y) P( X x) P(Y y ) F(x, y) F (x)F ( y) X Y , pij pi p j f (x, y) f X (x) fY ( y), j i j i j i P X x Y y p P Y y X x p { | } , , { | } f (x y ) f (x), f ( y x ) f ( y) X Y X Y X Y 离散型 连续型 独立随机变量X,Y的连续函数g1(X),g2(Y)仍是独立的随机变量 例如： X 与Y 独立 aXb与 e Y 独立
§3.5二维随机变量函数的分布 我们曾经讨论了一维随机变量X函数g()的分布， 独立随机变量的连续函数g1(x),,gn(x)仍独立 现在我们进一步讨论： 当随机变量X,X2,,Xn的联合分布已知时， 如何求出它们的函数 y=8X,X2,…X)j=1,2,…m的联合分布？ 我们集中讨论两个随机变量的函数的分布问题 二维随机变量X,)的分布 维随机变量Z的分布 和二元函数Z=g(X,) 我们仍采取类比的方法学习二维随机变量函数的分布问题 分两种情形讨论
我们仍采取类比的方法学习二维随机变量函数的分布问题 我们曾经讨论了一维随机变量 X 函数 g(X) 的分布， 我们集中讨论两个随机变量的函数的分布问题 当随机变量X1, X2, …, Xn 的联合分布已知时， §3.5 二维随机变量函数的分布 现在我们进一步讨论: 如何求出它们的函数 Yj = gj (X1, X2, …,Xn) j =1,2,…,m 的联合分布? 二维随机变量(X,Y)的分布 和二元函数 Z= g(X, Y) 一维随机变量 Z 的分布 分两种情形讨论 独立随机变量的连续函数 g1 (x1 ),…, gn ( xn ) 仍独立
一、离散型随机变量函数的分布 -1 1 仍从实例中总结一般方法： 1/4 1/8 例1(P.85例1)已知(X,Y)的联合分布列 1 1/4 3/8 求（1)Z=X+Y的分布列； (2)Z=X/Y的分布列. 解(1)Z=X+Y可能的取值为-2,0,2， Z -2 0 2 P(Z=-2)=P(X=-1,Y=-1)=1/4; Pk 1/4 3/8 3/8 P(Z=0)=P(X=-1,Y=1)+PX=1,Y=-1)=3/8; P(Z=2)=P(X=1,Y=1)=3/8; Z -1 1 (2)Z2=XY可能的取值为-1,1， Pk 3/8 5/8 P(Z=-1)=P=-1,Y=1)+PX=1,Y=-1)=3/8; P(Z=1)=P(X=-1,Y=-1)+PX=1,Y=1)=5/8
例1(P.85 例1) 已知(X,Y )的联合分布列 解 (1) 一、离散型随机变量函数的分布 求 (1) Z = X+Y 的分布列； (2) Z= X/ Y 的分布列. X -1 1 1/4 1/4 Y -1 1 1/8 3/8 Z = X+Y 可能的取值为 -2, 0, 2, P(Z=-2) = 1/4 ; Z pk -2 0 2 = P(X=-1,Y=1)+P(X=1,Y=-1) P(Z=-1) 1/4 Z pk -1 1 = 3/8 ; P(Z=1)= P(X=-1,Y=-1)+P(X=1,Y=1) 3/8 = 5/8 . 5/8 P(Z=0) 3/8 P(Z=2) 3/8 (2) Z2 = X/Y 可能的取值为 -1, 1, 仍从实例中总结一般方法： =2 = P(X=-1,Y=-1) = 3/8 ; = 3/8 ; =-0 2 =-1 = P(X=-1,Y=1)+P(X=1,Y=-1) = P(X=1,Y=1)
例2 今有两封信欲投入编号为A,B,C的3个邮筒，设X,Y 分别表示投入邮筒A号和B号的信的数目，试求： (1)X,)的分布列； (2)求=min{X,Y}的分布列. 解(1)由题意可知X和Y取值均为0,1,2， 2 P(X=0,Y=0上P(两封信均投入C邮号筒)= 32 0 1/9 2/9 1/9 P(K0,=I)=P(一封投入C筒，另一封投入B筒)=是： 2/9 2/9 0 32 P(X0,Y=2)=P(两封都投入B筒)=；…， 2 1/9 0/9 0 (2)V的可能取值为0,1， P(V-0)-P(mim(X,r)-0)-P(X-0.Y-j)+P(X-i.Y-0)-g: =0 PV=)=P(mim(X,)=1)=1-子=号； 最后写出V的分布列即可
设 X,Y 分别表示投入邮筒A号和B号的信的数目， 解 (1) 2 1 2 0 ( 0, ) ( , 0) j i P X Y j P X i Y 例2 今有两封信欲投入编号为A,B,C 的3个邮筒， 试求： (1) (X,Y)的分布列； (2)求 V=min{X,Y}的分布列 . P(X=0,Y=1) ; 3 1 2 ; 3 2 1 C2 P(V 0) P(min(X,Y)0 ) P(V1) P(mi n(X,Y) 1) 9 7 1 由题意可知X和Y取值均为 0, 1, 2， ; 9 7 (2) V 的可能取值为 0, 1， P(X0, Y0) 1/9 2/9 1/9 X 0 1 2 Y 0 1 2 ……， 最后写出 V 的分布列即可. = P(两封信均投入C邮号筒) =P(一封投入C筒, 另一封投入B筒) P(X=0,Y=2)=P(两封都投入B筒) ; 3 1 2 2/9 1/9 2/9 0 0/9 0 ; 9 2
二、连续型随机变量函数的分布 设连续型随机变量X,Y)的概率密度为f(x,y), 其函数Z=g(X,Y)为连续函数， 求连续型随机变量Z的概率密度fz(亿)？ (I)求Z的分布函数Fz(z)； 构成的区域记为G Fz(a)=P(Z≤z)=P(gK,Y)≤z)=P(X,)∈G)=jf(x,) Fz(z)=J∬f(x,y)y 8(x,y)≤z () 对分布函数F,(z)求导即得Z的概率密度fz(2). 下面就按着这个思路，讨论几个特殊函数的分布： 分布函数法
二、连续型随机变量函数的分布 设连续型随机变量(X,Y )的概率密度为 f ( x , y) ， 其函数Z= g(X,Y) 为连续函数, 求连续型随机变量 Z的概率密度 fZ (z )？ (I) 求 Z 的分布函数 FZ(z)； (II) 对分布函数 FZ(z)求导即得 Z 的概率密度 fZ (z) . ∵FZ(z)= P(Zz ) = P( g(X,Y)z ) 构成的区域记为G ( , ) . G = P((X,Y)G ) f x y dxdy g x y z FZ z f x y dxdy ( , ) ( ) ( , ) 下面就按着这个思路, 讨论几个特殊函数的分布： 分布函数法