6.2.1 i)定量分析 设y=y(x)是精确的,则对(6-9)有 2 h y(x+1)-y y(2)=R 该误差由当前一步所产生。称为局部截断 误差,若满足 y(x)≤M,x∈[x,X 则有 h R|≤M,或R=O(h2 而对改进的 Euler方法(6-10)有 h R|≤M,或R1=O(h 这里:p(x)≤M,x∈x,x (证明作为习题) 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 21 6.2.1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 证明作为习题） 这里： 或 而对改进的 方法 有 或 则有 若满足 该误差由当前一步所产生。称为 设 是精确的，则对 有 定量分析 ( , , , 2 6 10 , 2 , , 2! 6 9 ) 0 ''' 3 3 2 2 0 '' '' 2 1 1 y x M x x X M R O h h R Euler M R O h h R y x M x x X y R h y x y y y x ii i i i i i i i i i i = − = − = = − + + 局部截断 误差
6.2.1 整体截断误差:设yn是Euer公式(6-9) 精确解,而y(x)是初值问题(68)的解 则整体截断误差定义为 ymy 它是局部截断误差的积累。 定理:若(xy)关于y满足 Lipschitz条件。 则有估计式: lEm<elr R l+2(e-1)(6-12) L-- Lipschitz常数 R--局部截断误差上界 X--x的区间上限 h--x的步长 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 22 6.2.1 整体截断误差：设ym是Euler公式（6-9） 精确解，而 y(x) 是初值问题（6-8）的解。 则 整体截断误差定义为 它是局部截断误差的积累。 定理：若f(x,y)关于y满足Lipschitz条件。 则有估计式： ( 1) (6 12) +1 0 + − − LX LX m e hL R e 的步长 的区间上限 局部截断误差上界 常数 h x X x R L Lipschitz − − − − − − − − ( ) m m m = y − y x
6.2.1 证明: m+1=1m+h7 (xm+h)=y(xu)+hf(rm, y(xu ))+r 相减得: m+1=8m+ hlf(rm,ym)-f(m,y()I-R m+1 |≤(1+hD)nl+R 〔递推)≤(1+h)n+R(+(+hL) ≤(+h)m+R∑(+hL ≤(+h)mkl+R thl hL 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 23 6.2.1 ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) hL hL hL R hL R hL hL R hL hL R h f x y f x y x R y x h y x hf x y x R y y hf x y m m m j m j m m m m m m m m m m m m m m m m m m m 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , 1 0 1 0 0 1 1 2 1 1 1 + − + + + + + + + + + + + = + − − + = + + = + + + = + − + + + 递推 相减得： 证明：
6.2.1 注意到:xm1=(m+1)h≤X (1+h)≤(1+h)≤e 于是得: lim 1+ e YX R ≤eEn+ LX +1 hL m=0,,2 若s0=y0-y(x0)=0,将R=M代入 2 上式得 hM e 2L 可记为cn=O(h)说明Euer方法的 整体截断误差与h同阶。 对改进Er方法,sn=O(h2) 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 24 6.2.1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 对改进 方法， ( )。 整体截断误差与 同阶。 可记为 说明 方法的 上式得： 若 ，将 代入 于是得： 注意到： 2 1 2 0 0 0 1 0 1 1 1 , 1 2 2 0 0,1,2, 1 1 1 1 Euler O h h O h Euler e L hM M h y y x R m e hL R e hL hL e x m h X m m LX m LX LX m X LX h m m = = − = − = = = + − + + = + + + + + e x x x = + → 1 lim 1
6.2.1 说明: G)一般来说,整体比局部误差低一阶。 a)方法的精度由整体误差决定,但局部 误差容易估计。 (m)实际上,py(x)≤M的估计式中的M 是不知道的。因此难以使用上述结果 62.1.3.收敛性、稳定性讨论 收敛性:设y(x)是ODE初值问题的解, 是差分方程的解,若成立 im max 0 h→01≤m≤nm 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 25 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 25 6.2.1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 是差分方程的解，若成立 收敛性：设 是 初值问题的解 收敛性、稳定性讨论 是不知道的。因此难以使用上述结果。 实际上， 的估计式中的 误差容易估计。 方法的精度由整体误差决定，但局部 一般来说，整体比局部误差低一阶。 说明： m y y x ODE iii y x M M ii i , 6.2.1.3. '' lim max ( ) 0 0 1 − = → m m h m n y y x