6.2.1 则称差分方程是收敛的。 Elr方法是收敛的,且阶为O(h) 注意:当h→>0时离散点增多。舍入 误差的积累可能扩大了对解的影响。 所以实际上对h不能无限缩小 稳定性:初值的改变导致公式(6-9) 的差分方程解的变化情况。严格定义为: 定义:彐C,h2使对u2Vo,它们的解 满足: 当0<h<h,mh≤X对 un-Vml≤co-om=12… 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 26 6.2.1 ( ) ( ) 的差分方程解的变化情况。严格定义为： 初值的改变导致公式 所以实际上对 不能无限缩小。 误差的积累可能扩大了对解的影响。 当 时离散点增多。舍入 方法是收敛的，且阶为 则称差分方程是收敛的。 6 9 0 − → h h Euler O h 注意： 稳定性： , 1,2, 0 , , , , , , 0 0 0 0 0 0 − − = u v c u v m h h m h X u v c h u v m m m m 当 对 满足： 定义： 使对 它们的解
6.2.1 则称 Euler方法是稳定的。 事实上,若f(x,y的LCh条件, 则 Euler方法是稳定的。 证明:记On=um-vn umI=um +hf(xm, um) m4=Vm +hf(, vm) 5m< 5m +hl f(rm, um)-f(msvm) ≤(1+h6n|≤ ≤(1+hL)+1 证毕 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 27 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 27 6.2.1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 证毕。 证明：记 则 方法是稳定的。 事实上，若 的 条件， 则称 方法是稳定的。 0 0 1 1 1 1 1 1 , , , , , LX m m m m m m m m m m m m m m m m m m m e hL hL h f x u f x v v v hf x v u u hf x u u v Euler f x y Lipschiz Euler + + + − = + = + = − + + + +
6.2.1 稳定性实际上描述了当h→O时,初 始误差δ对以后解的影响。它是一种极 限状况。实际计算中,h总是适当大小, 而不是→>0 绝对稳定: 对给定的步长h和初值,由 ym -y( x)<δ 可推知 yn -y(r)<co (n>m) 这里c为常数。 实际上,对给定的问题存在稳定 的(h,y区域范围。 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 28 6.2.1 ( ) ( ) ( ) 的( )的区域范围。 实际上，对给定的问题存在稳定 这里 为常数。 可推知 对给定的步长 和初值，由 而不是 。 限状况。实际计算中， 总是适当大小， 始误差 对以后解的影响。它是一种极 稳定性实际上描述了当 时，初 0 0 , 0 0 h y c y y x c n m y y x h h h n n m m − − → → 绝对稳定：
6.2.1 62.1.4.外推技巧 Richardson外推法 euler法的近似解: y(x)=y(x)+ch+c,h2+ 而步长为h/2时,有 h y2(x)=y( y(x)+ch+=c,h+ 2 组合后,可使h的一次项为0 h (x)-y(x)=y(x)+O2) 故取 y(=2y(( 时可提高一阶精度 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 29 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 29 6.2.1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 时可提高一阶精度。 故取 组合后，可使 的一次项为 ： 而步长为 时，有 法的近似解： 外推法 外推技巧 y x y x y x h h y x y x c h c h Euler Richardson h h h = − = + + + 2 2 1 2 2 0 2 6.2.1.4. 2 ( ) = ( )+ 1 + 2 2 + 4 1 2 1 y x y x c h c h h ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2y x y x y x O h h h − = +
6.2.1 若用阶方法计算y(x)y(x) y(x)=y(x)+c,h+ohP+ 6-13) y(x)=y(x)+2-Pc,hP+ohP+ )(6-14) 2y(x)-y(x)=(2-1)(x)+O) 故可取 P,h/2 )-y(x)6-15) 它具有p+1阶精度。 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 30 6.2.1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 它具有 阶精度。 故可取 则 若用 阶方法计算 1 2 2 1 2 6 14 6 13 , : 2 1 2 1 1 2 + − = − + = + + − = + + − + − + + p y x y x y x O h y x y x c h O h y x y x c h O h p y x y x h p p h p p P p p h p p p h h h ( ) 2 ( ) ( ) (6 15) 2 1 1 2 − − − y x = y x y x p h h p