6.2.1 这个公式(6-9)称为改进的Eer公式 a)单步法:由y可计算y全部算出y c)显式:如Eer公式(6-9) d)隐式:如改进的Euer公式(6-10) e)半隐法:可化为显式的隐式 般地,把隐式格式(6-10改为以下预估一校正式: yo=y+hf(x,y) 予估 yn=y+5(x,y)+(xm,2 校正 =01…n-1) 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 16 ( ) ( ) 一般地，把隐式格式( )改为以下预估一校正式： 半隐法：可化为显式的隐式。 隐式：如改进的 公式 显式：如 公式 单步法：由 可计算 全部算出 这个公式 称为改进的 公式。 6 10 ) ) 6 10 ) 6 9 ) (6 9) 1 − − − − + e d Euler c Euler a y y y Euler i i i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = − − = + + − − − = + − − − + + + + 0,1, , 1 6 11 , , 2 , 0 0 0 1 1 1 0 1 y x y i n f x y f x y h y y y y hf x y i i i i i i i i i i 校正 予估 6.2.1
6.2.1 x 单步法 自动起步 显式 多步法 隐式 半隐式 图6.3ODE求解方法的类型 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 17 6.2.1 x0 i−2 x i+1 xi−1 xi x xi+2 n x • • • • • • • • • • • • • 多 步 法 单步法 自动起步 显式 隐式 半隐式 图 6.3 ODE求解方法的类型
6.2.1 初值问题: das g st(.s mg ds )=0 =10 令质量m=1,加速度g=10 则:由 Euler方法 真解 v()=o-10 m=1m-1-10h s()=va-52 表61自由落体运动方程的Euer公式求解 h=1.0 h=0.5 m m S s(t) 10 0. 0.55 3.75 0 0.7.55 -5.0 7.53.75 2.|-10.10 -10. 5 -15 15 0 6.25 3 20 012345678 20.-20 75-15 -25.-25.-17.526.25 4 4. 30.-20 -30 30 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 18 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 18 ( ) ( ) ( ) ( ) = + = − = = = = = = = = − = = = − + − − s s v h v v h s v Euler m g v s v dt ds m g dt dv s t s t m g dt d s m m m m m 1 1 1 0 0 0 ' 0 2 2 10 0 10 1, 10. 0 10 0 0 10 0 则：由 方法： 令质量 加速度 初值问题： ( ) ( ) 2 0 0 5 10 s t v t t v t v t = − = − 真解： m t vm sm m t vm sm s(t) 0 1 2 3 4 0 . 1 . 2 . 3 . 4 . 10. 0 . -10. -20. -30. 0 . 10. 10. 0 . -20. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 . 0.5 0 . -5.0 -10. -15. -20. -25. -30. 10. 5 . 0 . -5. -10. -15. -20. -25. -30. 0 . 5 . 7.5 7.5 5 . 0 . -7.5 -17.5 -30. 0 . 3.75 5 . 3.75 0 . -6.25 -15. 26.25 -40. h =1.0 h = 0.5 表 6.1 自由落体运动方程的Euler公式求解 6.2.1
6.2.1 -20 20 40 40 图6.4运动轨迹 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 19 1 2 3 4 t 1 2 3 4 t 40 30 20 10 0 10 − − − − 40 30 20 10 0 10 − − − − • • • • • • • • • • • • • • • • • • • v s 图 6.4 运动轨迹 6.2.1
6212 Euler方法的误差估计 般其它方法的误差估计也类似 这里误差是指截断误差(算法理论误 差) 而不是舍入误差。后者由计算机字 长等决定,属于稳定性问题 i)几何分析 1=y+b(x2y2) y yi x 图6.5 Euler公式的误差 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 20 图 6.5 Euler公式的误差 6.2.1.2 Euler方法的误差估计 一般其它方法的误差估计也类似。 这里误差是指截断误差(算法理论误 差) 而不是舍入误差。后者由计算机字 长等决定，属于稳定性问题。 i) 几何分析 ( )i i y x − y i y i x i+1 x ( ) i+1 y x i+1 y y(x) ( ) i i i i y y hf x , y +1 = + 6.2.1