6.2.1 62.1.1方法原理及推导 设初值问题6-8)满足: a)f在区域R:x0≤x≤X,y<∞ 内连续。 b)f关于y满足 Lipschitz条件: 彐常数L>0,对v(x,n)(x,y2)∈R f(x,y)-f(r,y2)<Lly-y2l 那么(6-8)就存在唯一的解 a),b)可用更强的,但便于检验的 条件来代替: 在R内有界。 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 11 6.2.1.1 方法原理及推导 设初值问题(6-8)满足： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 0 , , 0, , , , , ) ) : , f x y f x y L y y L x y x y R b f y Lipschitz a f R x x X y − − 常数 对 关于 满足 条件： 内连续。 在区域 ( ) 在 内有界。 条件来代替： 可用更强的，但便于检验的 那么 就存在唯一的解。 R y f a b − ), ) 6 8 6.2.1
6.2.1 把[x02X]分成n等分,得到节点{x +ih 0.1.……n 其中h=(X-x0)n称为定步长。若 上述划分是任意的: x.=x.,+h 则称h为变步长 x x x x 图6.1常微分方程初值问题的数值解 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 12 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 12 ( ) ( ) ( ) 则称 为变步长。 上述划分是任意的： 其中 称为定步长。若 把 分成 等分，得到节点 1 1 1 0 0 0 1,2, , 0,1, , , : − = − + − = = − = + = i i i i i i h x x h i n h X x n x x ih i n x X n x 0 1 1 1 1 x x x x x 0 y 0 y 0 y • • • • • • • 6.2.1 图 6.1 常微分方程初值问题的数值解
6.2.1 )用7 aylor级数构造: (x+)=yx)+hy (x) h y(2) 其中x,<5<x 故 y(x =y(x)+hy(x,) ()+hf(,y(x,) 于是,我们取 y+1=y+ y(x)=y(=0 作为y(x1)的近似。(6-9)称为EMr公式 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 13 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) 作为 ( )的近似。( )称为 公式。 于是，我们取 故 其中 。 用 级数构造： y x Euler y x y i n y y hf x y i n y x hf x y x y x y x hy x x x y h y x h y x hy x i Taylor i i i i i i i i i i i i i i i i i 6 9 6 9 0,1, , 1 , 0,1, , 1 , 2 ) 1 0 0 1 ' 1 1 '' 2 ' − − = = − = + = − = + + + + = + + + + + 6.2.1
6.2.1 欧拉方法的几何意义: yo h步长 图62 Euler方法的几何意义 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 14 欧拉方法的几何意义： xn x0 x1 x2 X 0 y y(X ) n y ( )1 y x ( ) 2 y x 1 y 2 y • h步长 6.2.1 图 6.2 Euler方法的几何意义
6.2.1 i)用数值积分法构造 把(6-8写成积分形式 h v(r+h n)=y(x)+.f(,y(x)dx 令x=x,并用左矩形公式计算积分,得 x+h)=y(x1)+h/(x1,y(x)+R 舍去余项R,并使得y(x1+h)=y1,即 得Eer公式(6-9) 若用梯形公式来计算积分,舍去 余项,得: x=+2()+(6-0 y(xo)=yo =0 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 15 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 15 ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) 余项，得： 若用梯形公式来计算积分，舍去 得 公式 。 舍去余项 并使得 即 令 并用左矩形公式计算积分，得 把 改写成积分形式 用数值积分法构造 6 9 , , , , , 6 8 ) 1 − + = + = + + = + = + − + + Euler R y x h y y x h y x hf x y x R x x y x h y x f x y x dx ii i i i i i i i i i x h x ( ) ( ) ( ) ( ) (6 10) 0,1, , 1 , , 2 0 0 1 1 1 − = = − + = + + + + y x y i n f x y f x y h y y i i i i i i 6.2.1