对于高阶显式方程。通过定义n-1个 新变量,可以写成n维一阶方程组。 即令 (x) x (6-6 (x)=y(x 那么(6-5)可以改写为如下的方程组: J0=y1 h-2 f(x,y02y12…,yn) 般我们把方程组写成向量形式: 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 6 • 对于高阶显式方程。通过定义n-1个 新变量，可以写成n维一阶方程组。 即令： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 一般我们把方程组写成向量形式： 那么 可以改写为如下的方程组： 6 7 , , , , 6 5 6 6 , 1, , 1 0 1 1 ' 1 1 ' 2 2 ' 1 1 ' 0 0 1 − = = = = − = − = = = − − − − − − n n n n i i y f x y y y y y y y y y y x y x i n dx dy x y x 6.1.1
y=f(x, y) 这里:y=(,y12…,yn) 在讨论初值问题时,我们从一阶方 程开始: 0 然后毫不费力地套用来解方程组。 当f(x,y)与y无关时,f(x2y)=g(x) 则初值问题 y=g 变为积分问题 0 y=g(x)dx+C,y(o) 故求解微分方程具有更广泛的意义。 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 7 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 7 y f (x, y) ' = ( ) ( ) T n T n f f f f y y y y 0 1 1 0 1 1 , , , , , , − − = = 这里： • 在讨论初值问题时，我们从一阶方 程开始： ( ) ( ) = = 0 0 ' , y x y y f x y 然后毫不费力地套用来解方程组。 • 当 f(x,y)与y无关时，f(x,y)=g(x) ( ) ( ) ( ) ( ) 故求解微分方程具有更广泛的意义。 则初值问题 变为积分问题 0 0 0 0 ' y g x dx c, y x y y x y y g x = + = = = 6.1.1
6.1.2数值解及其重要性 ●ODE的解很少能用初等函数及其 不定积分的组合表示。例如方程 不能表示为初等函数,故得不到精确解。 有的解可以表示为自变量的显示形式, 但仍然得不到精确解。例如 1-2x 的解是 e'dt难以求积。 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 8 6.1.2 数值解及其重要性 ( ) 而 难以求积。 的解是 但仍然得不到精确解。例如 有的解可以表示为自变量的显示形式， 不能表示为初等函数，故得不到精确解。 不定积分的组合表示。例如方程 的解很少能用初等函数及其 − = = − = + x t x x t e dt y x e e dt y x y y x y ODE 0 0 ' ' 2 2 2 2 2 1 2 • •
61.3ODE数值解的基本思想和方法特点 基本思想有两点 1.离散化 用 Taylor级数,数值积分和差商 逼近导数等手段,把ODE转化为离散 的代数方程(称差分方程)。 2.递推化 在具有唯一解的条件下,通过 步进法逐步计算出解在一系列离散 点上的值。从而得到原ODE的数值 近似解。 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 9 6.1.3 ODE数值解的基本思想和方法特点 基本思想有两点 1. 离散化 用Taylor级数，数值积分和差商 逼近导数等手段，把ODE转化为离散 的代数方程(称差分方程)。 2. 递推化 在具有唯一解的条件下，通过 步进法逐步计算出解在一系列离散 点上的值。从而得到原ODE的数值 近似解
62初值问题解法 我们讨论一阶ODE,而高阶可 能化为一阶ODEs。一阶初值问题 可以一般地写成: f(x,y)x∈[xn,X 6-8 yo=yo 62.1欧拉( Euler)方法 Euler方法是求解(6-8)最简单方法, 但精度差,故不实用。然而对理论分 析很有用。 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 10 6.2 初值问题解法 我们讨论一阶ODE，而高阶可 能化为一阶ODEs。一阶初值问题 可以一般地写成： ( ) ( ) (6 8) , , 0 0 0 − = = y x y f x y x x X dx dy 6.2.1 欧拉（Euler）方法 Euler方法是求解(6-8)最简单方法， 但精度差，故不实用。然而对理论分 析很有用