结论2:如果(1)问题(B):minq(x)有最优解x(); ∈R (2)x(λ)∈D,即g,(x(λ)≥0G=1,2,…,m)。 则x‘(λ1)也是问题(A):minf(x)的最优解 x∈D 证明:因为x'()是(B):min(x)的最优解。 ∈R 所以φ(x(λ2)≤φ4(x),Vx∈R"。 又x(x)∈D,即g(x()≥0G=1,2,…,m), 所以p(x'(A)=0。 所以vx∈D,有f(x()=f(x(4)+p(x() q(x(λ) ≤q(x)
则 ）也是问题（ ）： 的最优解。 ，即 （ ）。 结论 ：如果 问题（ ） 有最优解 ( min ( ) (2) ( ) ( ( )) 0 1,2, , 2 (1) :min ( ) ( ); * * * * x A f x x D g x j m B x x x D k k j k k k x R n = 所以 。 证明：因为 是（ ） 的最优解。 n k k k k x R k x x x R x B x n ( ( )) ( ), ( ) :min ( ) * * 所以 。 又 即 （ ） ( ( )) 0 ( ) , ( ( )) 0 1,2, , , * * * = = k k j k p x x D g x j m , ( ( )) ( ( )) ( ( )) * * * k x k k p x k 所以x D 有 f x = f + ( ( )) * = k x k (x) k
f()+n p(r) =f(x) 所以x(λ3)是问题maxf(x)的最优解
所 以 x * (k )是问题max xD f (x)的最优解。 f (x) p(x) = + k = f ( x)
(3)算法步骤(外点法 stepl给定初始点x",初始怎罚因子λ1>0(可取x1=1) 精度>0,k:=0。 step2以x为初始点,求解无约束化问题 min(x)=f(x)+λp(x)=f(x)+x∑mn2(g、(x),0) 得到极小点为x(λ),记为x+ ste3:如果x()∈D,即g,(x(λ1)≥EG=1,2,…,m), 则x(λ)就是问题(A):minf(x)的最优解,stop; x∈D 否则转step4. ste4:给定Ax>1(可取孔=a这里a>1为惩罚 因子的放大系数)k:=k+1,转stp2
（3）算法步骤（外点法）： 精 度 。 给定初始点 ，初始惩罚因子 （可取 ） ， 0, : 0 1. 1 0 1 1 0 = = k step x ( ) . min ( ) ( ) ( ) ( ) min ( ( ) ,0) 2. * 1 1 2 + = = + = + k k m j k k k j x R k x x x f x p x f x g x step x n 得到极小点为 ，记为 以 为初始点，求解无约束优化问题 4. ( min ( ) ; 3 ( ) , ( ( )) 1,2, , , * * * step x A f x stop step x D g x j m x D k k j k 否则转 则 ）就是问题（ ）： 的最优解， ：如果 即 （ ） = , : 1, 2. 4 1 1 1 k k step step k k k k 因子的放大系数） 转 ：给定 （可取 这里 为惩罚 = + + + =