§3.5线性方程组有解判别定理
§3.5 线性方程组有解判别定理
在有了向量和矩阵的理论准备之后,下面给出线性方程 十C12xX+…+a 22 Inn a21+a22 x2+.+a2,xn=b2 (3.5.1) +axn+∴+ax=b nn n 有解的判别定理 定理3.5.1(线性方程组有解的判别定理) 线性方程组(3.5.1)有解的充要条件是它的 系数矩阵A与增广矩阵A有相同的秩 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 在有了向量和矩阵的理论准备之后，下面给出线性方程 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = —（3.5.1） 有解的判别定理。 定理3.5.1（线性方程组有解的判别定理）： 线性方程组（3.5.1）有解的充要条件是它的 系数矩阵A与增广矩阵 A 有相同的秩
证一:对线性方程组(351)的增广矩阵A施行 行初等变换与前n列的换法变换得B 12 1r+1 In 01 In rr+I d.|=B 00 00 00 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 n n m m mn n a a a b a a a b A a a a b = 证一：对线性方程组（3.5.1）的增广矩阵 A 行初等变换与前n列的换法变换得 B 施行 ⎯⎯→ 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r n r n rr rn r r c c d c c d c c d B d + + + + =
A的前n列所成的矩阵是A,设B的前n列所成 的矩阵为B 1.若秩A=秩A,则由定理3.4.4知,秩B=秩B 故d1=0.因此原方程组有解 2.若原方程组(3.5.1)有解,则以B为增广矩阵 的方程组也有解。故d=0于是秩B=秩B 因此秩A=秩A 证二:设a=(a1 2 12:022 ,an=(an,an…,am),B=(b,b,…,bn) 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 A 的前n列所成的矩阵是A，设 B 的矩阵为B。 的前n列所成 1. 若秩A=秩 A ，则由定理3.4.4知，秩B=秩 B 故 1 0. r d + = 因此原方程组有解。 2. 若原方程组（3.5.1）有解，则以 B 的方程组也有解。故 为增广矩阵 1 0, r d + = 于是秩B=秩 B 因此秩A=秩 A 证二：设 1 11 21 1 (a a a , , , , m ) = 2 12 22 2 (a a a , , , , m ) = , n n n mn (a a a 1 2 , , , , ) = = (b b b 1 2 , , , . m )
于是方程组(351)可表为: xC1+x2a2+…+x2On=B (352) 设方程组(351)有解,由(352)知β可由 线性表示, 因此向量组ax2a2…a与a1,a2…an2B等价 由于等价的向量组有相同的秩, n是A的列向量组, x1,O2,…,n,B是A的列向量组, 故秩A=秩A 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 于是方程组（3.5.1）可表为： 1 1 2 2 . n n x x x + + + = —（3.5.2） 设方程组（3.5.1）有解， 由于等价的向量组有相同的秩， 1 2 , , , n 是A的列向量组， 由（3.5.2）知β可由 1 2 , , , n 线性表示， 因此向量组 1 2 , , , n 与 1 2 , , , , n 等价。 1 2 , , , , n 是 A 的列向量组， 故秩A=秩 A