§3.3线性相关性
§3.3 线性相关性
向量空间有两种运算:加法和数量乘法,合起来成为线性 运算。因此向量空间也可称为线性空间。向量空间元素之间的 最基本的关系就体现在运算上即所谓线性关系上。因此讨论向 量之间的线性关系在研究向量空间时起着极为重要的作用。本 节仅限于在F"中进行讨论 向量组的线性关系 在解几中,向量空间R3中的任一个向量a可由i,和 R中的一组数a1a243表示出来,即有a=a1i+a2j+a2k。在 般n维向量空间是否有类似现象?在未研究之前,先考虑上述 表达式的意义。 定义3.3.1:设a1,a2…,Cr,B是F"中的向量,若存在F中 r个数:k1,k2…,k,使β=k1a1+k122+…+k,则称β是向量组 a1,a2,…,,的一个线性组合,或称向量β可由 1:2 线性表出。 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 向量空间有两种运算：加法和数量乘法，合起来成为线性 运算。因此向量空间也可称为线性空间。向量空间元素之间的 最基本的关系就体现在运算上即所谓线性关系上。因此讨论向 量之间的线性关系在研究向量空间时起着极为重要的作用。本 节仅限于在 n F 中进行讨论。 一、向量组的线性关系 在解几中，向量空间 3 R 中的任一个向量α可由 i j k , , 和 R 中的一组数 1 2 3 a a a , , 表示出来，即有 1 2 3 = + + a i a j a k 。在一 般n维向量空间是否有类似现象？在未研究之前，先考虑上述 表达式的意义。 定义3.3.1：设 1 2 , , , , r 是 n F 中的向量，若存在F中 1 2 , , , r r个数:k k k ，使 1 1 2 2 r r = + + + k k k 则称β是向量组 1 2 , , , r 的一个线性组合，或称向量β可由 1 2 , , , r 线性表出
例331在F中,a1=(1-10),a2=(0,2,1),a3=(-12),B=(5-7,5) β是不是a12a2,3的线性组合? B=2a1-a2+33, 阝可由a,a2a3的线性组合。 例332在F"中,任一向量a=(a1,a2…,an)可由向量组 E1=(1,0,…0),62=(0,1…,0),…En=(0,0,…,1) 线性表示,称为n维单位向量。 这回答了本段开头提出的问题,1E2…,5n在F"中有重要的作用 它有那些重要作用?以及是否还有其他向量组能起它们的作用? 下面将给予回答。 注1:零向量是任一向量组的线性组合 定义332:对于F"中个向量a12…,若存在F中不全为 零的数k2k2…,k,使ka1+ka2+…+kan=0,则称 a线性相关,否则称a1,2…,a,线性无关, (即不存在不全为零的数k,k2…k,使 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 例3.3.1 在 3 F 中， 1 2 3 = − = = − = − (1, 1,0 , 0, 2,1 , 1, 1, 2 , 5, 7,5 ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 = − + 2 3 , β可由 1 2 3 , , 的线性组合。 例3.3.2 在 n F 中，任一向量 = (a a a 1 2 , , , n ) 可由向量组 1 2 = = = (1,0, ,0 , 0,1, ,0 , , 0,0, ,1 ) ( ) n ( ) 线性表示， i 称为n维单位向量。 这回答了本段开头提出的问题， 1 2 , , , n 在 n F 它有那些重要作用？以及是否还有其他向量组能起它们的作用？ 下面将给予回答。 中有重要的作用。 注1：零向量是任一向量组的线性组合。 定义3.3.2：对于 n F 中r个向量 1 2 , , , r ，若存在F中不全为 零的数 1 2 , , , r k k k ，使 1 1 2 2 0 r r k k k + + + = ，则称 1 2 , , , r 线性相关，否则称 1 2 , , , r 线性无关， （即不存在不全为零的数 1 2 , , , r k k k ，使 是不是 1 2 3 , , 的线性组合？
ka,+ka+…+ka.=0)。 例333判断向量a1=(2,-3),a2=(6,-9是否线性相关(若 两个向量的对应分量成比例,则这两个必线性相关)。 注2:单个零向量必线性相关,单个非零向量必线性无关 注3:向量组a122…c,中有一个零向量,则ax,a2 必线性相关 例334判断向量组a=(1-2,3)a2=(2,10),a3=(1-7,9) 是否线性相关。 解:设有k,k2,k3,使k1a1+k1a2+ka3=0 k1+2k2+k3=0 于是得: 2k1+k2-7k3=0 3k1+9k=0 03 05-5 309 0-66 000 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 1 1 2 2 0 r r k k k + + + = ）。 例3.3.3 判断向量 1 2 = − = − (2, 3 , 6, 9 ) ( ) 是否线性相关（若 两个向量的对应分量成比例，则这两个必线性相关）。 注2：单个零向量必线性相关，单个非零向量必线性无关。 注3：向量组 1 2 , , , r 中有一个零向量，则 1 2 , , , r 必线性相关。 例3.3.4 判断向量组 1 2 3 = − = = − (1, 2,3 , 2,1,0 , 1, 7,9 ) ( ) ( ) 是否线性相关。 解：设有 1 2 3 k k k , , ，使 1 1 2 2 3 3 k k k + + = 0 于是得： 1 2 3 1 2 3 1 3 2 0 2 7 0 3 9 0 k k k k k k k k + + = − + − = + = 1 2 1 1 2 1 2 1 7 0 5 5 3 0 9 0 6 6 − − → − − 1 0 3 0 1 1 0 0 0 → −
取k1=-3,k2=1,k3=1,则有 3a,+a+C,=0 故a1,a2,a3线性相关 由此可得判断向量组 α.线性关系的一般步骤: (1)设ka1+k2a2+…+k,a1=0 (2)若能找到不全为零的k,k2…k,,使(1)成立,则 1,a2…,1线性相关;若由(1)只能推出 k=k2=…=k=0,则a12a2…,a线性相关。 更一般地,要判断F中向量组 112 21:022 1r2 是否线性相关, a1x1+a21x2+…+a 只要判断齐次线性方程组4+a3+…+a1x=0 aInt,+ a2 +a x=o 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 取 1 2 3 k k k = − = = 3, 1, 1 ，则有 1 2 3 − + + = 3 0 故 1 2 3 , , 线性相关。 由此可得判断向量组 1 2 , , , r 线性关系的一般步骤： ⑴ 设 1 1 2 2 0 r r k k k + + + = ⑵ 若能找到不全为零的 1 2 , , , r k k k ，使⑴成立，则 1 2 , , , r 线性相关；若由⑴只能推出 1 2 0 r k k k = = = = ，则 1 2 , , , r 线性相关。 更一般地，要判断 n F 中向量组 1 11 12 1 2 21 22 2 1 2 = = = (a a a a a a a a a , , , , , , , , , , , , n n r r r rn ) ( ) ( ) 是否线性相关， 只要判断齐次线性方程组 11 1 21 2 1 12 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 r r r r n n rn r a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + =