§3.4矩阵的秩
§3.4 矩阵的秩
上一节我们定义了向量组的秩,如果把矩阵的每一行看成 个向量,那么矩阵就是由这些行向量组成的。同样,如果把 矩阵的每一列看成一个向量,则矩阵也可以看作是由这些列向 量组成的 定义3.4.1所谓矩阵的行秩是指矩阵的行向量所组成的 向量组的秩,矩阵的列秩是由矩阵列向量所称向量组的秩。 1212 例如34.1求矩阵A 的行秩和列秩 0024 解:A的行向量组是 =(1212),a2=(0,2,3,2),a3=(0,02,3),a4=(0,0,0,1 其极大线性无关组是:C1,C2,C3,故A的行秩为3。 又A的列向量为 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 上一节我们定义了向量组的秩，如果把矩阵的每一行看成 一个向量，那么矩阵就是由这些行向量组成的。同样，如果把 矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵也可以看作是由这些列向 量组成的。 定义3.4.1 所谓矩阵的行秩是指矩阵的行向量所组成的 向量组的秩，矩阵的列秩是由矩阵列向量所称向量组的秩。 例如3.4.1 求矩阵 1 2 1 2 0232 0 0 2 4 0 0 1 2 A = 的行秩和列秩。 解：A的行向量组是： 1 2 3 4 = = = = (1, 2,1, 2 , 0, 2,3, 2 , 0,0, 2,3 , 0,0,0,1 ) ( ) ( ) ( ) 其极大线性无关组是： 1 2 3 , , , 故A的行秩为3。 又A的列向量为
B=(,0,0.0),B2=(2,2,0.0),3=(1,3.2,1),A=(2,24,2) 则列向量组的极大线性无关组为B,B2,3,故A的列秩也是3 问:矩阵A的行秩是否等于列秩? 为了解决这个问题,先把矩阵的行秩与齐次线性方程组 的解联系起来。 引理:如果齐次线性方程组 a1x1+a12X2+…+a1nxn=0 a21x1+a2x2+…+a2nxn=0 (34.1) x1+an2x2+…+anmx 的系数矩阵A=4¨a的行秩r<n,那么它有非零解。 mI a 2 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 1 2 3 4 = = = = (1,0,0,0 , 2, 2,0,0 , 1,3, 2,1 , 2, 2, 4, 2 , ) ( ) ( ) ( ) 则列向量组的极大线性无关组为 1 2 3 , , , 故A的列秩也是3。 问：矩阵A的行秩是否等于列秩？ 为了解决这个问题，先把矩阵的行秩与齐次线性方程组 的解联系起来。 引理：如果齐次线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = （3.4.1） 的系数矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a = 的行秩r<n，那么它有非零解
证明:用a,a2…,an表示矩阵A的行向量。由于其秩为r, 故它的极大线性无关组是由个向量组成。不妨设a1,…是它的 个极大无关组(否则可以调换向量的位置使之位于前r行,这 相当于交换方程组的位置。显然不会改变方程组的解)。由于 向量组ax1…aαr2a-12…,∝n与1…,是等价的,故原方程组与 以下方程组 1x1+a2x2+…+anxn=0 n21x1 +…+aL,x,=0 (34.2) an1x1+a,2x2+…+anx,=0 是同解的。由于方程组(3.4.2)中方程的个数小于未知量的 个数,故(342)从而(341)有非零解。 定理3.4.1矩阵的行秩与列秩相等 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 证明：用 1 2 , , , m 表示矩阵A的行向量。由于其秩为r， 故它的极大线性无关组是由r个向量组成。不妨设 1 , , r 一个极大无关组（否则可以调换向量的位置使之位于前r行，这 相当于交换方程组的位置。显然不会改变方程组的解）。由于 向量组 1 1 , , , , , r r m + 与 是等价的，故原方程组与 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = （3.4.2） 是同解的。由于方程组（3.4.2）中方程的个数小于未知量的 个数，故（3.4.2）从而（3.4.1）有非零解。 是它的 1 , , r 以下方程组 定理3.4.1 矩阵的行秩与列秩相等
12 证明:设所讨论的矩阵为A=a2a2 2n而A的行 秩为r,列秩为s。(要证r=s,先证r≤S,再证r≥S)。 用 表示矩阵A的行向量组,由于行秩为r,不妨设 a,…,a,是它的一个极大线性无关组。因为a12…,c1线性无关, 故方程组xa+…+xαx1=0只有零解。 X,+ax 0 此即齐次线性方程组4x+a42++a2x=0只有零解。 c1nx1+a2nX2+…+a1m 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 证明：设所讨论的矩阵为 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a = 而A的行 秩为r，列秩为s。（要证r=s，先证 r s ，再证 r s ）。 用 1 2 , , , m 表示矩阵A的行向量组，由于行秩为r，不妨设 1 , , r 是它的一个极大线性无关组。因为 1 , , r 线性无关， 故方程组 1 1 0 r r x x + + = 只有零解。 此即齐次线性方程组 11 1 21 2 1 12 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 r r r r n n rn r a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = 只有零解