§3.6线性方程组的解结构
§3.6 线性方程组的解结构
在解决线性方程组是否有解的判别条件之后, 我们知道在秩A=秩A=n(方程组未知量个数)时, 方程组有唯一解。在秩A=秩A<nη时,方程组有无 穷多解。 这时,我们要问,这些解之间有没有什么关系? 能否用有限个解把全部解表示出来? 如果可以的话,我们对解的情况就能更好地把握, 这个问题就是线性方程组的解结构问题 在讨论线性方程组的解结构之前,我们先考虑 其特殊情况:齐次线性方程组解的情况。 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 如果可以的话，我们对解的情况就能更好地把握， 这个问题就是线性方程组的解结构问题。 在解决线性方程组是否有解的判别条件之后， 我们知道在秩A=秩 A 方程组有唯一解。在秩A=秩 =n（方程组未知量个数）时， A <n时，方程组有无 穷多解。 这时，我们要问，这些解之间有没有什么关系？ 能否用有限个解把全部解表示出来？ 在讨论线性方程组的解结构之前，我们先考虑 其特殊情况：齐次线性方程组解的情况
齐次线性方程组的解结构。 设齐次线性方程组为: a1x+a12x2+…+anxn=0 1x1+a2x2+……+a 0 (3.6.1) +a_x+…+ax.=0 它的解具有以下两个重要性质: 性质1:齐次线性方程组(361)的两个解的 和仍是方程组(3.6.1)的解 证:设(k2…k)和(…,ln) 分别是(36.1)的两个解, 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 一、齐次线性方程组的解结构。 设齐次线性方程组为： 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = （3.6.1） 它的解具有以下两个重要性质： 性质1： 证： 分别是（3.6.1）的两个解， 设 (k k 1 , , n ) 和 (l l 1 , , n ) 齐次线性方程组（3.6.1）的两个解的 和仍是方程组（3.6.1）的解
即有∑ak=0,∑a1l=0,=1,2,…n 把这两个解之和(k+l2…kn+L) 代入方程组(3.61)得: +l k.+ =0,i=1,2 故两个解之和仍是方程组(3.6.1)的解 性质2:齐次线性方程组(36.1)解的倍数 仍是方程组的解。 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 即有 1 1 0, 0, 1, 2, , n n ij j ij j j j a k a l i n = = = = = 把这两个解之和 (k l k l 1 1 + + , , n n ) 代入方程组（3.6.1）得： ( ) 1 0, 1, 2, , n ij j j ij j ij j j j j a k l a k a l i n = + = + = = 故两个解之和仍是方程组（3.6.1）的解。 性质2： 齐次线性方程组（3.6.1）解的倍数 仍是方程组的解
证:设(k,…k)是方程组(361)的解,即有 ∑ank=0,i=1,2 用l乘这个解得(,…) 把它代入方程组(361)得: 2a1k=0,1=1 故(,…l)是方程组(361)的解。 综合性质1,2得 性质3:齐次线性方程组解的线性组合仍是 方程组的解 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 证：设 (k k 1 , , n ) 是方程组（3.6.1）的解，即有 1 0, 1, 2, , n ij j j a k i n = = = 用 l 乘这个解得 (lk lk 1 , , , n ) 把它代入方程组（3.6.1）得： 1 0, 1, 2, , n ij j ij j j j a lk l a k i n = = = = 故 (lk lk 1 , , n ) 是方程组（3.6.1）的解。 综合性质1，2得 性质3： 齐次线性方程组解的线性组合仍是 方程组的解