这就证明了 lim f(x)= A.x?Xo定理指出: 在一致收敏的条件下,(f,(x))中关于独立变量x与n的极限可以交换次序，即(1)式成立类似地,若 f,(x)在(a,b) 一致收敛,且 lim f,(x)x?a存在, 则有 lim lim f,(x)= lim lim f,(x);an??n?x?a若 f,(x)在(a,b)上一致收敛,且 lim f,(x)存在,则有X?blim lim f,(x) = lim lim f,(x).x?bn??n??x?b巡回后贡前页
前页 后页 返回 这就证明了 定理指出: 在一致收敛的条件下, 中关于独 立变量 x 与 n 的极限可以交换次序, 即(1)式成立. 上一致收敛, 且 存在, 则有
定理13.9 (连续性)若函数列if,在区向I 上一致收敛,且每一项都连续,则其极限函数f在I上也连续.证 设 x,为I 上任一点.由于 lim f,(x)=f,(x,)，于X?x是由定理 13.8 知 lim f(x)也存在, 且x?Xolim f(x)= lim f,(x)= f(xo),x? Xon??因此f(x)在x上连续定理13.9可以逆过来用：若各项为连续函数的函数列在区间I上其极限函数不连续，则此函数列在区间I上一定不一致收敛后页巡回前页
前页 后页 返回 定理13.9 (连续性) 若函数列 在区间 I上一致收 敛, 且每一项都连续, 则其极限函数 在 I 上也连续. 证 于 是由定理 13.8 知 也存在, 且 定理13.9可以逆过来用: 若各项为连续函数的函数 列在区间 I 上其极限函数不连续, 则此函数列在区 间 I 上一定不一致收敛
例如: 函数列(x"的各项在(- 1,1] 上都是连续的, 但i0,- 1<x<1,其极限函数f(x)=i在x=1时不连i1, x=1续,所以{x"}在(-1,1]上不一致收敛定理13.10 (可积性)若函数列(f,在[a,b] 上 一致收敛，且每一项都连续，则(3)lim d f.(x) dx=0lm f.(x) dr.R后页巡回前页
前页 后页 返回 例如: 函数列 的各项在 上都是连续的, 但 其极限函数 续, 所以 在 上不一致收敛. 定理13.10 (可积性) 若函数列 在 上一致收 敛, 且每一项都连续, 则
证设f为函数列(f,}在[a,b] 上的极限函数, 定理13.9知 f 在[a,b] 上 连续, 从而f,(n =1,2,L)与f 在[a,b]上都可积.于是(3)变为T(39lim df.()dx=0 f(x) dx.因为在[a,b] 上 f,一致收敛于f,故对于任意e >0,存在 N,当 n > N 时, 对一切 xI[a,b], 都有 f,(x)- f(x) <e.再根据定积分的性质，当n>N时有巡回前页后贡
前页 后页 返回 证 设 为函数列 在 上的极限函数. 由定理 13.9知 在 上连续, 从而 与 在 上都可积. 于是(3)变为 故对于任意 , 存在 再根据定积分的性质, 当 时有
f,(x) - f(x) dx=(f,(x)- f(x) dxf 0lf,(x)- f(x)dx t e(b- a),这就证明了等式（39这个定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算的顺序可以交换巡回前页后贡
前页 后页 返回 这就证明了等式 这个定理指出: 在一致收敛的条件下, 极限运算与 积分运算的顺序可以交换