电子科技大学：《数学物理方程与特殊函数 Mathematical Physics Equations with Special Function》课程教学资源（课件讲稿）第四章 行波法（3/3）

例1、用降维法由三维波动方程泊松公式推导出一维波动方程的达朗贝尔公式。 解：三维波动方程初值问题： u 2 =a 8t2 ,(-o0<x,y,2<+0,1>0) 4le=xy,l=wy到 当u不依赖x,y时，即得到自由弦振动方程： or (<:<4o>0) 根据三维泊松公式： u(M,t)=

例1、用降维法由三维波动方程泊松公式推导出一维波动方程的达朗贝尔公式。 解：三维波动方程初值问题：   2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 , , , , 0 ( , , ), ( , , ) t t u u u u a x y z t t x y z u u x y z x y z t                                    当u不依赖x, y时，即得到自由弦振动方程：   2 2 2 2 2 0 0 , 0 ( ), ( ) t t u u a z t t z u u z z t                        根据三维泊松公式： . . . . 2 1 ( ) ( ) ( , ) 4 M M S S at at M M u M t dS dS a t t t                   

(M,t)= (M)ds(M)ds Ana 当初始条件只与z相关时： 4w-》WFinnIJa rcos)(a)sin0d0 at 由定积分第二类换元法，令z+atC0SO=5,则： ∯2”s=2no5d5-…+ 同理可得到： ∯”s=2rjw0d5

当初始条件只与z相关时： 由定积分第二类换元法，令 ，则： . . . . 2 1 ( ) ( ) ( , ) 4 M M S S at at M M u M t dS dS a t t t                    . . 2 2 0 0 ( ) ( cos ) ( ) sin M S at M z at dS at d d t at               2 0 ( cos ) 2 ( ) sin z at at d at          z at   cos  . . ( ) 2 ( ) * M at z at z at S M dS d t            同理可得到： . . ( ) 2 ( ) ** M at z at z at S M dS d t           

(M,t)= pM'） Ana 将它们代入三维泊松公式得到： x0=a(r+am+pc-am+a∫E 注：通过降维法，一、二、三维自由振动柯西问题的求解公式均可以统一为泊松公式。 例2、求解定解问题： L-d aw=x+列0=0

将它们代入三维泊松公式得到： . . . . 2 1 ( ) ( ) ( , ) 4 M M S S at at M M u M t dS dS a t t t                    注：通过降维法，一、二、三维自由振动柯西问题的求解公式均可以统一为泊松公式。                x a t x a t d a u x t x at x at . 2 . 1 2 1 ( , )      例2、求解定解问题：   2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 , , , 0 t t ( ), 0 u u u a x y t t x y u u x x y t                               