第六章连续时间金融初步 连续时间金融理论是现代金融经济学的分支 衍生品的定价(比如期权)正是建立在连续时间 金融理论之上 本章共分为4节 第一节,连续时间金融的基础数学知 第二节, Merton(1969)的开创性论文 第三节,讲解 Black-Scholes模型 第四节,简单回顾最新连续时间金融理论研究
第六章 连续时间金融初步 连续时间金融理论是现代金融经济学的分支 衍生品的定价(比如期权)正是建立在连续时间 金融理论之上 本章共分为4节 第一节，连续时间金融的基础数学知识； 第二节，Merton(1969)的开创性论文； 第三节，讲解Black—Scholes模型； 第四节，简单回顾最新连续时间金融理论研究
第一节连续时间金融数学基础 涉及到的数学: ●测度论、实变函数、随机过程、随机微分 方程、马尔可夫链等等 ●已经超过本教材的范围, 详细内容,参阅下面经典著作 ● Protter(1992) ● Karatzas和 Shreve(1988) ● Ikeda和 Watanabe(1989) ● Chung和 Williams(1990 o Williams (1991)
第一节 连续时间金融数学基础 ⚫ 涉及到的数学： ⚫ 测度论、实变函数、随机过程、随机微分 方程、马尔可夫链 等等 ⚫ 已经超过本教材的范围， ⚫ 详细内容，参阅下面经典著作： ⚫ Protter (1992) ⚫ Karatzas和Shreve(1988) ⚫ Ikeda和Watanabe（1989） ⚫ Chung和Williams（1990） ⚫ Williams（1991）
布朗运动与几何布朗运动 ●定义:称随机过程B=(B,t∈[O∞) ●为标准布朗运动( Brownian motion)或维纳 过程( Wiener process),如果满足4个条件: ●(1)该运动起始于0点,即,B=0; °(2)该运动具有平稳性和独立增量性; (3)对任意的t>0,B服从均值为0,方差 为t的正态分布,即,B~N(0,t)。 (4)该运动样本轨迹连续,即,不存在跳跃
布朗运动与几何布朗运动 ⚫ 定义：称随机过程 ⚫ 为标准布朗运动（Brownian Motion）或维纳 过程（Wiener process），如果满足4个条件： ⚫ （1）该运动起始于0点，即，B0 =0； ⚫ （2）该运动具有平稳性和独立增量性； ⚫ （3）对任意的t＞0，Bt服从均值为0，方差 为t的正态分布，即，Bt ～N（0，t）。 ⚫ （4）该运动样本轨迹连续，即，不存在跳跃 B = (B , t [0,)) t
●结论:随机变量BB、(>s)与随机变量Bs 的分布相同, ●都服从均值为0,方差为t-s的正态分布 ●分布的相等并不意味着样本路径的相等 B.-B=B.butB.-B.≠B. S t-S S t-S ●结论:布朗运动B=(B,t∈[O,∞) ●为高斯过程,并且, ●均值E(B)=0 ●协方差E(BB)=min(s,t)
⚫ 结论：随机变量Bt－Bs (t＞s)与随机变量Bt-s 的分布相同， ⚫ 都服从均值为0，方差为t-s的正态分布 ⚫ 分布的相等并不意味着样本路径的相等 t s t s t s d Bt − Bs = B − but B − B B − ⚫ 结论：布朗运动 ⚫ 为高斯过程，并且， ⚫ 均值 E(Bt )=0 ⚫ 协方差 E(BtBs )=min(s,t) B = (B , t [0,)) t
●性质6-1:布朗运动为0.5自相似 ●性质6-2:布朗运动相对于自然过滤 F=o(B,t>s)而言,为一个鞅
⚫ 性质6-1：布朗运动为0.5自相似 ⚫ 性质6-2：布朗运动相对于自然过滤 Ft=σ(Bs，t＞s)而言，为一个鞅