第五讲曲面论(二) Gauss- Bonnet公式 2001年11月23日 1曲面论发展的简介 很高兴又与大家见面了.我在医院里住了几天,你们可以看出来我还没 有完全好,不过我觉得我还是跟大家讲讲这些东西.那么,我今天要讲的 是 Gauss-Bonnet公式.这个公式有相当的意义,也有相当的历史,尤其跟我 个人的工作也有关系,所以我要提一提我跟这个问题是怎么样的关系.我 们上次讲到曲面论,曲面论是微分几何里头最重要的一部分.因为许多微 分几何的现象在在3维空间里的2维曲面的情况已经产生了.同时,因为它 是在3维空间里头,这个几何的情况是可以看见的,不是完全用代数来表示 曲面论有很长的历史,最早的当然是 Monge. Monge是法国的大数学家,他 老先生对政治有些活动,所以他除了做大学教授之外,他对法国的教育有 很多影响.他是拿破仑底下的一个雇员,帮助拿破仑做事,他是拿破仑政府 的海军部长,甚至还跟着拿破仑去埃及打仗.因为他的影响,法国的高工学 校( Ploytechnique)就建立起来了.很长一段时期,法国最好的学生都在高工 学校.我想高工学校也许象现在的清华,有许多好的学生,例如说,法国一个 最大的数学家 Poincare就是 Ploytechniquel的学生. Monge是第一个写关于 微分几何书的人,他的书就叫做《微积分在几何上的应用》,这也是我要讲 的题目.因此,法国的教育在微分几何有一个相当的传统除了 Monge本人 之外,由于他在高工的影响,他有很多学生,都是在微分几何有相当贡献的 人.然后在微分几何逐渐发展之中,比较晚一些的是法国另外一个大数学 家 Darboux. Darbo ux是法国科学院的秘书长,所以在他的时期,他是在科 技界有很多影响的一个人.他不仅是秘书长,也是巴黎大学理学院的院长 他的最大的工作是四本《曲面论》.我想,这四大本是数学文献里头永远的 个文献.现在可惜由于它是法文的,很多人不看这个书,我想这些人对微
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分几何缺少一点了解,他们应该看这个书. Darboux的书讲得非常好,包括了 很多材料.在1941相,我在西南联大教书,教《微分几何》,也讲到曲面论 讲到曲面论时,当然就看 Darboux的书,就想到 Darboux的书里头,一个主要 的方法是用活动标架,也就是采用活动标架法.他用得非常彻底,做得非常 之漂亮. Darbon稍微不用的一点是他不用外微分,我想,我的课是讲微积 分,而微积分你要讲到多元,多变数的时候,这个外微分不能避免.这是因为 在多变数的时候,最有效的工具是外微分.外微分可以加,减,可以乘,可以 微分,所以有很多代数的运算可以用到外微分,同时,一个外微分也是一个 式子,这个式子给予很多数学问题,不管是它的几何,还是它的分析,都给你 很多材料,因此是非常有用的. Darboux的缺点是他没有用外微分.他用活 动标架法,但是没有外微分.因此,有很多工 作,不用外微分,怎么办呢?他也是还要用微积分的,不用外微分,他 用偏微分.用偏微分比外微分差得多了.因为你的曲面是2维的空间,所以 对于两个变数,即曲面的参数u,U,你要对u求偏微分,对u求偏微分,这里头 有很多偏微分,而用外微分就简单多了.但是他不采用外微分,这是很奇 怪的事情. Darboux是发现一次外微分式的第一人.一个是 Darboux,一个 是 Frobenius,他们两个人最那发现这个东西的,但是等到应用到曲面研究的 时候,不知道为什么,他没有用.也底是由于传统的关系,他写了外微分之 后,谁都不懂了,所以他不用外微分了.我刚才讲了,在1941相,我刚巧在昆 明教这个课,我很自然地想,为什么不用外微分呢?所以我就用外微分想法 子做 Darboux所做的工作,或者说至少做曲面论和一些几何的讨论.我采用 外微分,因此我得到一个很好的了解 2曲面论基本内容的回顾 什么叫外微分呢?就是你发现要研究曲面的话,曲面是一个2维的流形,它在 普通空间里头是2维的,所以它上头任意一个点是两个变数,通常就叫做参 数.但是现在呢,我们就叫它局全坐标u,v.因此它的坐标是2个变数的函数 所以是这个条件使它在每一点有一个切平面这个切平面当然很要紧,因为 2
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我们没有法子研究复杂的图形.我们只能研究最简单的如直线,平面这些东 西.切平面跟曲面有最密切的关系.那么,单说密切的关系不够,一定要解析 地能够解决比较更深刻的一些问题.有一个切平面,在这个切平面上是2维 的,于是每一点就有许多矢量,也就是切矢量.切矢量就是跟这个曲面相切 的矢量.因为这个曲面是在 Euclid空间里头,所以我可以讲这个矢量的长度 为简单起见,我限于讨论长度等于1的矢量,即单位矢量,所以有一圈单位 切矢量.跟这些单位切矢量垂直的有另外一个矢量,我们假定它是取成单位 的,那么这个矢量我们叫做单位法矢量.要注意的是这里就有一个几何现象 发生了,因为假使这个曲面弄平了的话,单位法矢量可以向上走,也可以向 下走换句话说,这个曲面除了是一个2维的流形之外,它还有一个定向:在 曲面上你是顺方向转,还是跟逆方向转,这个转动是很不一样的.所以,你要 定怎么样子转动是顺方向,这就是要给曲面一个定向.定向有了之后,它的 单位法矢量就定了.单位法矢量在这个方向可以向上走,也可以向下走定 了一个之后,这个曲面也就定向了.这是很重要的一个观念.虽然相差的只 是一个符号,但是这是一个很重要的观念. Mobius是德国伟大的几何学家 因为你要定向, Mobius发现有些曲面不能定向,这当然是很有意思的一件事 情.你们大家都知道的这个图形:就是拿一张纸,你把它转一圈连起来的话, 就得到所谓的 Mobius曲面,它没法子定向.这是几何上很有意思的一件事 情.那么我们假定曲面已经确定了一个方向.有了这样定向的曲面之后,几 何情况是怎么样的呢?由单位法矢量e3,其中e3是在3维空间,你发现有一件 事实,就是说你单独讨论曲面不够,你一定要利用曲面上的单位切矢量,我 叫这个单位切矢量为e1.这样我就有了一个标架,它有了第一个单位矢量和 第三个单位矢量.如果空间是定向的,第二个单位矢量e2=e3×e1也就完全 确定了.所以我就有个单位标架.单位标架就是三个单位矢量按照一定的 次序,是互相垂直的.为什么单位标架在几何的研究之中是这么重要?就是 因为几何是根据运动群研究空间在运动之下不变的几何性质,而这运动群 就是标架所成的空间.因为是有一个并且只有一个运动把一个标架变为其 它的标架至于全体的单位标架跟这个运动群的元素成一一对应,不但是 一对应,而且对应保持拓扑和一切的性质,所以运动群很要紧.因为空讲的
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运动不知道在解析的情况之下如何可以处理,而了标架之后,就可以处理了 标架就是矢量了,而矢量一般是有3个分量的矢量,而每一个分量是函数,就 可以把它微分,加,减什么的.矢量有加,减的运算,也有微分的运算.在某 种意义下,还可以有积分的运算.所以我现在就可以微分.我研究曲面的 时候,不只一个标架,那么在曲面的每点,这样的标架有多少呢?假使你晓 得e1的话,同时这个曲面是定向的,这个标架就完全定了.e1是什么呢?e1是 这个曲面在这一点的单位切矢量,那么这个曲面有多少单位切矢量呢?每点 有一圈在切平面上头等于单位矢量,而曲面是2维的,所以它们所成的空间 是3维流形.这是因为这个点是在曲面上移动,是2维的,现在在点定了之后, 单位切矢量可以绕着它转一圈,成一个圆周,所以它是又加一维,是3维.这 个3维空间非常要紧.我想现在实际上,你们要了解微积分或者了解跟微积 分下去的数学或者在数学中的应用,这个情况是最简单的,同时是最有用的 所以我有一个3维空间,由于每一点有个圆周,现在有个名字叫做圆丛,或者 圆周丛,丛是 bundle.所以你要研究曲面的几何性质,用这个解析的方法, 定要讨论它的圆丛.讨论圆丛了之后,一切都简单了.因为一切都是矢量 而是矢量的话,它有分量,就可以微分,就可以用代数或者微分的运算.我 们是在讨论微积分,我们假定碰到什么函数都可以微分.我叫在这个曲面上 的点为x,那么dx是一个矢量,就是从原点连着这个点的矢量.x是u,的函 数,而u,v是曲面上的局部坐标,所以你可以写出dx:假使x限制在曲面上 那么dx一定是e1与e2的线性组合,所以在这个地方,我就充分利用外微分的 观念.实际上dx是一个矢量值的一次微分式,所以它是e1与e2的线性组合, 它的组合系数是一次微分式,所以dx可以写为 dr=wiel+woe, (dax,dx)就是我们曲面的黎曼度量.因为e1,e2是互相垂直的单位矢量,所以 就是黎曼度量.如果这个清楚了,这对于普通讲微分几何简单多了.因 为普通微分几何,黎曼度量要写成 giidaidr,这是因为在切空间里所利用
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的坐标是候意的 Ca rtesian坐标,它不一定垂直,也不一定是单位.dx等 于u1e1+w2e2,但是我们外微分有个基本的性质,就是再用一次的话,它等 于0.这就是普通说的偏微分可以是交换的条件,一样的,也就是得到的偏微 分与微分的次序无关.所以你就把d到dx上头,一定等于0.你把右边展开 的话,就得到d(ue)+d(u2e2),独意当外微分前面有一个一次因式的话,微 分第二个因子要改号.也而言之,可以得到 du1=-2∧w12;d2=u1∧u12 0=du3=a1∧u13+u2∧w23 (5.4 我会在下面给出12,13,u23.既然用微积分了,所以可以把(re1e2,e3)的微 分表么e,e2,e3的线性组合.这个线性组合把de写成ey现在我用微分几 何普通的符号:假使有一个指数要重复的话,就表示相加,,j,k从1到3.你 把de;写成e,ω的几何意义很明显:你现在有一组标架,这组标架跟 组参数有关系,而对于这一组标架,就有一个邻近标架,这个邻近标架跟原 来标架的关系就是u这关系是由一次微分式来表示的.因此就有 ej 这组方程式很要紧,它就表示两个邻近标架互相的关系.在这个函况之下, 微分几何跟力学不大一样,力学往往变数是时间,所以一个标架跟着时间在 移动,因此你整个标架只有一个变数,都是时间t的函数.现在我们是一个曲 面,每点有许多标架,所以我这标架的参数是3.这是因么有切面的局部坐 标,又有切矢量在平面里头变换的坐标,所以我现在这个要变数是3,还因 么E这空间是3维的.要变数高了,所以这是有原因使得外微分有效.我们已 将de写成方程(5.5).ω对于i,j是反对称的,这是因么我的标架是单位标架 即因么(e,e)=6,所以它是反对称的.因此线际上很简单:你把(c)写 出来,它是一个方阵.这个方阵是反对称的,所以在对角线的u等于0,其余 的对着对角线是反对称的,因此线际上只有3个一次微分式:12,13,23 我想我上次德明了ω12由du1,du的方程(5.3)完合确定,这是一个重要的定 5
④✰✮✹⑧❄④Ca rtesian✰✮, ➬❳✘➼✒❺, ✎❳✘➼✹❭➔. dx ⑧ ➉ω1e1 + ω2e2, ❜✹➲➣✐❻■❿➬äý④✉➓, Ò✹ò⑦✘✬④➏, ➬⑧ ➉0. ❨Ò✹✃✴⑨④➔❻■✱✶✹❜➛④✣●, ✘ø④, ✎Ò✹③t④➔❻ ■➛❻■④✬➇➹✞. ➘✶✜Ò➨d⑦tdxÞ❃, ✘➼⑧➉0. ✜➨➁✣✵✌ ④➏, Ò③td(ω1e1) + d(ω2e2), Õ❄❤✐❻■✄➪❿✘➬✘✬❖✯④➏, ❻ ■➅✓➬❖✝✞➉❘. ✎✌Ó❷, ✱✶③t dω1 = −ω2 ∧ ω12; dω2 = ω1 ∧ ω12. (5.3) 0 = dω3 = ω1 ∧ ω13 + ω2 ∧ ω23. (5.4) ➲❒ó✆➪➱ñω12, ω13, ω23. ✑❧⑦❻è■ê, ➘✶✱✶➨(xe1e2, e3)④❻ ■✱➃e1, e2, e3④✧✉✜❭. ❨➬✧✉✜❭➨dei❯➘ωijej . ✙ó➲⑦❻■✁ ❬✃✴④♥❘: ✧✫❿✘➬➁❥✞➢❹④➏, Ò✱✰★✜, i, j, k✱1t3. ✜ ➨dei ❯➘ωijej , ωij④✁❬❄❇✐Ò✗: ✜✙ó❿✘✜✮✪, ❨✜✮✪❐✘ ✜❦❥❿✞ø, ✌é➉❨✘✜✮✪, Ò❿✘➬ù↔✮✪, ❨➬ù↔✮✪❐➷ ✉✮✪④✞øÒ✹ωij . ❨✞ø✹❸✘✬❻■✯✉✱✰④. ❖✩Ò❿ dei = ωijej . (5.5) ❨✜✵➬✯✐✞➏, ➬Ò✱✰Ü➬ù↔✮✪➄★④✞ø. ó❨➬❁❨❷✆, ❻■✁❬❐➴➛❳▲✘ø, ➴➛⑨⑨★❥✹✣✲, ➘✶✘➬✮✪❐ø✣✲ó ★➘, ❖✩✜r➬✮✪➄❿✘➬★❥, Ñ✹✣✲t④❁❥. ✙ó➲➣✹✘➬▼ ➪, ➎➎❿➂õ✮✪, ➘✶➲❨✮✪④❦❥✹3. ❨✹❖➃❿★➪④Û❭✰ ✮, ➅❿★✪Þó➨➪➦❃★➛④✰✮, ➘✶➲✙ó❨➬✞★❥✹3, ↕❖ ➃E ❨✽✲✹3➅④. ✞★❥➦ê, ➘✶❨✹❿➷❖✫③✐❻■❿❍. ➲➣✳ ❘dei ❯➘✵➬(5.5). ωijé➉i, j✹✬é➪④, ❨✹❖➃➲④✮✪✹❭➔✮✪, ý❖➃(ei , ej ) = δij , ➘✶➬✹✬é➪④. ❖✩ωij✧✓Þ✐❀❭: ✜➨(ωij )❯ ñ✉, ➬✹✘➬✵❥. ❨➬✵❥✹✬é➪④, ➘✶óé♥✧④ω⑧➉0, Ù➏ ④éøé♥✧✹✬é➪④, ❖✩✧✓Þ➄❿3➬✘✬❻■✯: ω12, ω13, ω23. ➲✳➲Þ✬②Òêω12❸dω1, dω2④✵➬(5.3)q❭❤➼, ❨✹✘➬➢✞④➼ 5