第六讲曲面论(三) Gauss-Bonne公式(续 2001年11月30日 1微积分在复变函数论中应用简介 我还应该再讲两次.这两次我有个计划:预备讲一点复变函数论,因为在数 学中,很要紧的一件事实,同时在数学史上也是非常要紧的一件事情,就是 有复数.这个复数使得数学简单,复函数有许多漂亮,有意思的性质,因此 这使得这些函数在应用上特别有用处.所以,我预备讲一讲,比如说,复变函 数有一个很重要的性质:任意的代数方程在复变函数之中一定有解.这是 个不得了的事情,因为不管你怎么样写一个方程,你要是允许解是复数的话 它一定有解.例如,x2+1=0,那么它有个解就是√-1,所以√-就这么样 子有用处.不但如此,复数跟实数一样,可以加减,有同样的性质,所以,它 可以运算.同时它包含了许多材料是实数不能包含的.我想我的课在过程中 定会有个空挡,在空挡的时候,我想找两次讲复变函数我预备讲:一个是 我刚才讲的代数的基本定理,就是说任意的代数的方程在复数域中一定有 解.这个是很难证明的,需要数学上新的观念.比方说,伟大数学家如 Euler, 他想法子证明,但没有能成功.我想 Gauss是我们近代最伟大的数学家,他 很年轻的时候就有一个证明,也就是复数需要一些几何的性质,不完全是代 数的问题我预备下次讲复数的时候证明这个定理:同时,复变函数最主要 的一个定理是 Picard定理,就是说,假使对于一个复变函数,取它的函数值在 复平面里头所取的位置,它把整个复平面都盖住了,其中也许可以去掉一点 两点.这是不得了的,就是说,函数如果是一个全纯函数的话,它分布得非常 之均匀,可以说差不多把平面都盖住了.有意思的一件事情是这个定理是复 变函数高峰的定理,可以利用我们现在要讲的 Gauss-Bonnet公式来证明.这 说明看起来没有关系的一些方法跟观念,结果是有关系的.这是数学上非常 要紧,有意思的问题
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2关于学习的自动性 这个课快结束了,你们在这个课写个报告,最好是自动你能够自己找到 个问题,这是更要紧的.我想你们都是大学生,大学生受高等教育最后的 段,以后到社会上去,即使在学校,在学术单位里头,最要紧的一定要自动 不要是等老师叫你做什么,你再做什么,这个最坏.要自动,要自己能找问 题,要自己能够答复自己找的问题.那么,当然你找的问题不一定合适,你暂 时也不一定能够得到答案.不过,你中间经过一些弯路,经过一些错误,可以 使得你的学问真正进步,而使得你真正进步的就是要经过这样的手续,所以 我鼓励大家要自动.多一点地讲起来,你们甚至要能够组织一个团体,互相 报告找问题,或者请校内校外老师,同学来做报告,这是很有好处的,自己要 把数学想一想,或者对任意的学问,你自己有个思想,觉得有个什么样的活 动,对于你,对于这个学问的知识可以增加,同时你对学问的能力也可以增 加.所以这是很值得注意的一件事情,希望你们考虑一下这个可能性 3 Gauss-Bonnet公式的证明 上次,Gaus- Bonnet公式我没有证明全,所以我先把证明说全了.我上次讲 的 Gauss-Bo nnet公式就是:假使在空间里头有一个曲面,它是一个整个的 曲面,并且假使这个曲面是定向的,即它的法线有一定的方向,于是这样子, Gaus率K就是曲面上的一个函数,我可以把这个函数对于曲面上的面积 度量求积分,这个积分是一个2重积分,求它积分之后,结果这个积分等于 个常数(2)乘以曲面的 Euler示性数即 KdA=2丌x(M) (6.1) Euler示性数就是把曲面切成小块之后,适于一点自然的条件,把它切完之 后,其顶点个数一边的个数+面的个数,这样3个数的正负的和就叫做这个曲 面的 Euler示性数.当曲面是球面的话,它的Eule示性数=2,如果它是个环 面,它的 Euler示性数是0.你们可以试一试,就能得到这个.如果曲面是个定 2
2 ✞➉➛ó④✞➘✉ ❨➬✶❖❼❡ê, ✜➣ó❨➬✶❯➬ç➲, ✦P✹✞➘. ✜✕ê✞✄■t✘ ➬➥☛, ❨✹❮✞➏④. ➲✳✜➣Ñ✹▲➛✠, ▲➛✠■➦⑧s➳✦⑨④✘ ã, ✶⑨tö❒Þ❱, ý✫ó➛❉, ó➛❜❭➔➦❃, ✦✞➏④✘➼✞✞➘. ❳✞✹⑧➄✓✇✜✮✤➃, ✜ò✮✤➃, ❨➬✦➔. ✞✞➘, ✞✞✄✕■➥ ☛, ✞✞✄✕ê■❹✞✄■④➥☛. ➃, ❤❧✜■④➥☛❳✘➼❭✼, ✜ö ✣✎❳✘➼✕ê③t■➍. ❳✱, ✜➙✲➨✱✘❏❦✹, ➨✱✘❏❋Ø, ✱✶ ✫③✜④➛➥❪t➓❩, ✌✫③✜❪t➓❩④Ò✹✞➨✱❨ø④❈➍, ➘✶ ➲ó➵▲✛✞✞➘. õ✘➎➃❨å✉, ✜➣☎➊✞✕ê✜❸✘➬▲✍, ➄★ ç➲■➥☛, Ý❱❃❉✓❉✐➄✓, ✸➛✉✮ç➲, ❨✹✐❿Pÿ④, ✞✄✞ ➨❥➛✳✘✳, Ý❱é⑧❄④➛➥, ✜✞✄❿➬❻✳, ú③❿➬✤➃ø④Ù ➘, é➉✜, é➉❨➬➛➥④⑧★✱✶✎✜, ✸✣✜é➛➥④✕➴✎✱✶✎ ✜. ➘✶❨✹✐❾③Õ❄④✘●✴❁, æ❶✜➣✤❉✘✆❨➬✱✕✉. 3 Gauss-BonnetÚ✯④②Ò Þ✬, Gauss-BonnetÚ✯➲➊❿②Ò❭, ➘✶➲☛➨②Ò⑨❭ê. ➲Þ✬❨ ④Gauss-Bo nnetÚ✯Ò✹: ✧✫ó✽✲➦❃❿✘➬▼➪, ➬✹✘➬r➬④ ▼➪, ❄✪✧✫❨➬▼➪✹➼✺④, ý➬④✛✧❿✘➼④✵✺, ➉✹❨ø✝, Gauss▼●KÒ✹▼➪Þ④✘➬❁❥, ➲✱✶➨❨➬❁❥é➉▼➪Þ④➪è ÝÞ❋è■, ❨➬è■✹✘➬2➢è■, ❋➬è■❷⑨, ❼✯❨➬è■⑧➉✘ ➬➒❥(2π)➷✶▼➪④Euler ✰✉❥. ý Z Z KdA = 2πχ(M) (6.1) Euler✰✉❥Ò✹➨▼➪★➘❇▲❷⑨, ✼➉✘➎✞❧④✣●, ➨➬★q❷ ⑨, Ù➸➎➬❥−✣④➬❥+➪④➬❥, ❨ø3➬❥④t❿④❩Ò✇✮❨➬▼ ➪④Euler✰✉❥. ❤▼➪✹❊➪④➏, ➬④Euler✰✉❥= 2, ➌✯➬✹➬➣ ➪, ➬④Euler ✰✉❥✹0. ✜➣✱✶❆✘❆, Ò✕③t❨➬. ➌✯▼➪✹➬➼ 2
向曲面,这是个的唯一的拓扑不变式.一般讲起来,假使球上加几个环,环的 个数就跟 Euler示性数有个关系:这环的个数普通叫曲面的亏格( genus),这 是曲面最重要的拓扑不变式.有意思的是,这曲面的性质,曲面上头函数的 性质跟亏格有密切的关系,所以亏格是拓扑不变式,个影响到曲面的几何性 质和解析性质,有非常之重要的影响.所以整个这些关系是很深奥的,相当 深奥的.因此,也是非常要紧,非常有意思的.我上次证明 Gauss-Bonnet公 式,最要紧的公式就是 du12=-u13∧u23 u1∧w2 (6.2) 我现在重复一遍.要研究曲面论的话,一定要研究曲面上的标架.假使取这 个标架,使标架的3个单位矢量互相垂直,并且我们假定个是个右手系,即 在两个之间选择一个右手或者左手,我们假使是右手系.那么,对于这样子 标架,假使你知道第一个矢量之后,其个两个矢量就确定了.因为我们假定 第三个是曲面的单位法矢量,那么第一个,第三个定了的话,第二个也就定 了.事实上,我这是一个单位标架,同时是右手系(右手标架),这就完全定了 所以对于在一个点的所有这种样子的标架,一共这种标架有单参数系one parameter family),是根据了一个变数.曲面是2维的,再加上这点的标架有 个参数,所以曲面所有标架是一个3维的空间.3维空间有x这个顶点,定个 在曲面的位置,个去掉两个维,然后再取一个切线方向,又有一个维,因为切 线在切面里头可以转,所以又多了一维.这样子就得到所有标架系所成空间 的3维的性质.有了标架系,有什么好处呢?因为有了矢量,你可以用公式来 表示出来矢量有分量,这分量就有数.我们搞数学最要紧的要有数.你要 有数的话,描写是准确的,并且应用的时候你可以观察到的都是数.在某种 意义下为什么微积分要紧?我想数学主要的目的是研究函数,研究两个系统 的关系。现在这关系呢,函数不好搞了,所以微积分是把这个关系线性化,因 此可以用代数矢量可以加,拿个数目来乘,所以微积分主要的成就是把空 间的理论,把函数的理论线性化,代数化.有了代数以后,你就可以算,所以 就有用,因此也重要.那么有了标架所得到的解析的事实是什么呢?我把这
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个标架叫做re1e2e3 E={re1e2eM定向e3是法矢量,e1mbox4#% (6.3) e3是全位的法矢量.x,e1,e2,e3都是矢量,所以它们的微分也是一个矢量.微 分之后是一次微分式矢量值.因此,它们可以表为e1,e2,e3的一个线性组合 我把dx表为线性组合,得到的系数我叫做u1,2, dr=w1e1twge2 (6.4 1∧u2就是曲面的面积度量,是一个2次微分式,它确然可以用来做个重积 分的积分函数( integral),所以把它积分的紧,就得到这个曲面的面积.我讲 的关于曲面的算论的这些结果,你在微分几何者上找不到.如果你不能完全 接找,不能完全懂的紧,没有关系.因为这些二容大概是根通微分几何可以 讲一个月,我讲一两次就把它讲完够.这也证明这个方法的优点它的优点 主要是我在研究3维空间的 Euc lid几何. Euclid几何最好是用正交标架,因 为正交性在 Euclid几何不变,是有意义的,所以最好用正交标架.那么,一般 的微分几何的者等用到曲面论的时候,它不用正交标架,你要想通的法子 如说,平面解析几何,你不用正交标架,你的两个坐标不垂直,甚至于它走 的方向不是全位的方向,你去试试看就知道难多够,麻烦多够.不是不可能 做,可以做到,就是麻烦多够.有意思的一件事情,确然我们都知道,坐标系 统是法国的哲学家,数学家笛卡尔发现的.他头一次用坐标的时候不是正交 标架,都是任意的标架.他用任意的标架拿来处算这种几何的问题不知道 是哪位先生放够个正交标架,以后你在者上看到的都是正交标架.所以,我 的标架是ree2e3,这4个都是矢量.它们的微分也得到矢量值的一次微分,所 以每一个可以表为e1,e2,e3的线性组合.由于我们是在一个3维的空间,那么 这就是上面写的这个公式(64)和下面的公式: dei= wijej (6.5) 这时候,因为是一次微分式,所以这种线性组合是e1,e2,e3的线性组合,它的 系数是一次微分式,不再是函数够.以前如果是函数的紧,它线性组合的
➬✮✪✇✮xe1e2e3, E = {xe1e2e3|M➼✺ e3✹✛✪Þ, e1 mbox4#%} (6.3) e3✹❭➔④✛✪Þ. x, e1, e2, e3 Ñ✹✪Þ, ➘✶➬➣④❻■✎✹✘➬✪Þ. ❻ ■❷⑨✹✘✬❻■✯✪Þ❾. ❖✩, ➬➣✱✶✱➃e1, e2, e3④✘➬✧✉✜❭. ➲➨dx✱➃✧✉✜❭, ③t④ø❥➲✇✮ω1, ω2, dx = ω1e1 + ω2e2. (6.4) ω1 ∧ ω2Ò✹▼➪④➪èÝÞ, ✹✘➬2✬❻■✯, ➬❤❧✱✶⑦✉✮➬➢è ■④è■❁❥(integral), ➘✶➨➬è■④➏, Ò③t❨➬▼➪④➪è. ➲❨ ④✞➉▼➪④➤❳④❨❏❼✯, ✜ó❻■✁❬❱Þ■❳t. ➌✯✜❳✕q❭ ③■, ❳✕q❭➹④➏, ➊❿✞ø. ❖➃❨❏✓➂▲➊✹✃✴❻■✁❬✱✶ ❨✘➬Û, ➲❨✘Ü✬Ò➨➬❨qê. ❨✎②Ò❨➬✵✛④⑨➎. ➬④⑨➎ ❒✞✹➲óÏ➘3➅✽✲④Euc lid ✁❬. Euclid✁❬✦P✹⑦t❜✮✪, ❖ ➃t❜✉óEuclid✁❬❳★, ✹❿❄❇④, ➘✶✦P⑦t❜✮✪. ➃, ✘➘ ④❻■✁❬④❱⑧⑦t▼➪❳④✣⑧, ➬❳⑦t❜✮✪, ✜✞✳✴④✛✝. ✞➌⑨, ➨➪❽Û✁❬, ✜❳⑦t❜✮✪, ✜④Ü➬✰✮❳✒❺, ☎➊➉➬✒ ④✵✺❳✹❭➔④✵✺, ✜❱❆❆✗Ò⑧✇✡õê, ❢✫õê. ❳✹❳✱✕ ✮, ✱✶✮t, Ò✹❢✫õê. ❿❄❻④✘●✴❁, ❤❧➲➣Ñ⑧✇, ✰✮ø ✿✹✛✮④❙➛✛, ❥➛✛❼☛✏✕✙④. ➷❃✘✬⑦✰✮④✣⑧❳✹t❜ ✮✪, Ñ✹⑧❄④✮✪. ➷⑦⑧❄④✮✪ü✉ÿ➤❨➠✁❬④➥☛. ❳⑧✇ ✹ý➔☛✠✽ê➬t❜✮✪, ✶⑨✜ó❱Þ✗t④Ñ✹t❜✮✪. ➘✶, ➲ ④✮✪✹xe1e2e3, ❨4➬Ñ✹✪Þ. ➬➣④❻■✎③t✪Þ❾④✘✬❻■, ➘ ✶➎✘➬✱✶✱➃e1, e2, e3④✧✉✜❭. ❸➉➲➣✹ó✘➬3➅④✽✲, ➃ ❨Ò✹Þ➪❯④❨➬Ú✯(6.4)❩✆➪④Ú✯: dei = ωijej . (6.5) ❨✣⑧, ❖➃✹✘✬❻■✯, ➘✶❨➠✧✉✜❭✹e1, e2, e3④✧✉✜❭, ➬④ ø❥✹✘✬❻■✯, ❳ò✹❁❥ê. ✶✄➌✯✹❁❥④➏, ➬✧✉✜❭④ 4
系数是函数,现在,系数是一次微分式,这些一次微分式重要得很.因为它 描写一个标架跟它临近标架的关系:它临近标架动一点点,跟原来相差多 少?相差是一个微分,就是我们的u跟这几个微分式有简单的关系,最 要紧的是ω,你看它很麻烦,,从1到3,但是因为标架是正交的单位矢量 所以对于i,是反对称的.因此,你把写成一个3×3的方阵的话,这个 方阵是反对称的,它的对角线的元素都是0,并且对于对角线它是反对称的 所以只有3个真正要处理的一次微分式.你要用标架来研究几何的这种情 况,在力学很自然.力学讲一个物体在那儿移动,那么它的位置就是时间的 函数,因此,这标架是时间的函数.这种函数在力学上是一个变数的函数 因为在力学上,在动力学上,真正的变数是时间,只有一个.但是要研究几 何的话,情况来得复杂,可能这个标架是跟多于一个变数有关系,可以是多 变数的函数.因此这之间就有些关系,这关系就是你求d(de).我讲过,你用 上d的话,d用两次是0.所以你把这个关系写出来的话,就得到d是一个式 子,可以用其他的u来表示,这式子是 dui=ik∧k (6.6) 你得到这样子一组方程,这是有意义的.因为是一次微分式,你把它微 分的话是2次微分式,而在右边是两个一次微分式相乘,所以也是2次微分 式,因此这组方程不荒谬.这组方程非常要紧,它们代表运动群整个的性 质.这组方程看着复杂,其实非常简单,因为这些u;是反对称的,所以如 果i≠j的话,例如,如果i=1,j=2,那么k=3.这是因为k要是等于1,于 是有u11=0,而要是k等于2,那么有u2=0.所以这组方程式看着复杂,右 边只有一项.很简单地,你还可以得到一个特别情形,就得到 du12=u13∧u32=-u13∧u23 (6.7) 这个公式要紧极了.我们在这个情形就碰到一个新的情况:同样你们念微积 分的时候,一般只有一个空间,大概一般不是平面就是3维空间,可是我们现 在有两个空间,一个是标架常数成的空间,是3维的;另一个是我们2维的曲 面,所以我有一个2维曲面还有一个3维的空间,这3维空间是个标架.因此如 5
ø❥✹❁❥, ✙ó, ø❥✹✘✬❻■✯, ❨❏✘✬❻■✯➢✞③✐. ❖➃➬ ➹❯✘➬✮✪❐➬ø↔✮✪④✞ø: ➬ø↔✮✪➘✘➎➎, ❐➷✉★❿õ è? ★❿✹✘➬❻■, Ò✹➲➣④ωi❐ωij . ❨✁➬❻■✯❿❀❭④✞ø, ✦ ✞➏④✹ωij , ✜✗➬✐❢✫, i, j✱1t3, ❜✹❖➃✮✪✹t❜④❭➔✪Þ, ➘✶ωijé➉i, j✹✬é➪④. ❖✩, ✜➨ωij❯➘✘➬3 × 3 ④✵❥④➏, ❨➬ ✵❥✹✬é➪④, ➬④é♥✧④➹↔Ñ✹0, ❄✪é➉é♥✧➬✹✬é➪④, ➘✶➄❿3➬❪t✞ÿ➤④✘✬❻■✯. ✜✞⑦✮✪✉Ï➘✁❬④❨➠❁ ❨, ó➴➛✐✞❧. ➴➛❨✘➬Ô✍ó✍★➘, ➃➬④➔➌Ò✹✣✲④ ❁❥, ❖✩, ❨✮✪✹✣✲④❁❥. ❨➠❁❥ó➴➛Þ✹✘➬★❥④❁❥. ❖➃ó➴➛Þ, ó➘➴➛Þ, ❪t④★❥✹✣✲, ➄❿✘➬. ❜✹✞Ï➘✁ ❬④➏, ❁❨✉③❹ì, ✱✕❨➬✮✪✹❐õ➉✘➬★❥❿✞ø, ✱✶✹õ ★❥④❁❥. ❖✩❨❷✲Ò❿❏✞ø, ❨✞øÒ✹✜❋d(dei). ➲❨✱, ✜⑦ Þd④➏, d⑦Ü✬✹0. ➘✶✜➨❨➬✞ø❯ñ✉④➏, Ò③tdωij ✹✘➬✯ ✝, ✱✶⑦Ù➷④ω✉✱✰, ❨✯✝✹ dωij = ωik ∧ ωkj . (6.6) ✜③t❨ø✝✘✜✵➬, ❨✹❿❄❇④. ❖➃ωij✹✘✬❻■✯, ✜➨➬❻ ■④➏✹2✬❻■✯, ✌ó➁✣✹Ü➬✘✬❻■✯★➷, ➘✶✎✹2✬❻■ ✯, ❖✩❨✜✵➬❳➥Ø. ❨✜✵➬✿➒✞➏, ➬➣❙✱ä➘❦r➬④✉ ➓. ❨✜✵➬✗ø❹ì, Ù✧✿➒❀❭, ❖➃❨❏ωij ✹✬é➪④, ➘✶➌ ✯i 6= j ④➏, ➽➌, ➌✯i = 1, j = 2, ➃k = 3. ❨✹❖➃k ✞✹⑧➉1, ➉ ✹❿ω11 = 0, ✌✞✹k⑧➉2, ➃❿ω22 = 0. ➘✶❨✜✵➬✯✗ø❹ì, ➁ ✣➄❿✘✶. ✐❀❭➃, ✜↕✱✶③t✘➬✁✴❁♦, Ò③t dω12 = ω13 ∧ ω32 = −ω13 ∧ ω23. (6.7) ❨➬Ú✯✞➏ôê. ➲➣ó❨➬❁♦Ò➁t✘➬❝④❁❨: ✸ø✜➣✬❻è ■④✣⑧, ✘➘➄❿✘➬✽✲, ▲➊✘➘❳✹➨➪Ò✹3➅✽✲, ✱✹➲➣✙ ó❿Ü➬✽✲, ✘➬✹✮✪➒❥➘④✽✲, ✹3➅④;☞✘➬✹➲➣2➅④▼ ➪, ➘✶➲❿✘➬2➅▼➪↕❿✘➬3➅④✽✲, ❨3➅✽✲✹➬✮✪. ❖✩➌ 5