第四讲曲面论(一) 2001年11月2日 1曲面的标架 今天我们讲一点曲面论.微积分在曲面上应用的研究在整个数学里头是很 要紧的.这是因为在曲面论中,曲面的这些性质往往扩充到其他更广的情 形,而这些更广的情形变化到曲面的时候也有很多性质,在曲面的情形已经 发生了.那么,曲面有个优点,就是我们假定它是在3维空间里头,所以你看 得见,你可以画图,可以在看得见它上头的曲线里的性质及其他什么的 到高维以后,就看不见了.我的讲法跟书不一样,所以我想大家把这几页材 料复印一下.这个材料大概应该在普通微分几何书上找不到的,它有个优 点,就是快得很而且方法来得简单.那么什么是曲面呢?曲面就是图上 个扭曲的东西,我把它的点的坐标表为两个变数的函数,这两个变数我叫 做u,0.u,一般叫做参数( parameter),假使u,v变化的时候,这些点的轨迹 就成了一个2维的曲面x(x,)=(x2(u,),x2(u,v),x3(u,v).于是因为有u,t, 所以你可以使得一个参数的值是常数,然后使得另一个参数变化.设u是 常数,令u变化,所以就有一条曲线,它的参数是u.同样,你可以使得u不 变,而v变化因此在曲面里头,有两组曲线,它的参数一组是υ等于常数, 组u是等于常数对于这两组曲线,每一条曲线在每一点都有一条切线.所以 在一个点x,我们就有两条直线.我假定这两条直线不重合,换句话说,解析 地讲,x,x不是同一个方向,不平直(线性)相关,其中x,x,就是x的矢量分 别对u,求偏微分.或者我说,它的矢量积x1×x2≠0.假使这两个方向不重 合,所以它们就张成一个平面,这个平面我叫做曲面在这一点的切面.这个 切面在x这一点有个垂直的方向,这个方向的直线一般叫做法线.沿着法线 的方向有一个单位矢量,因此也叫做法矢量.这个法矢量有两个选择,它可 以向上走,也可以向下走,有两个方向刚好相反的选择.我选择它使得x,x2 跟法矢量是一个右手的坐标标架,是一个右手系.换句话说,我叫这个法矢
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量e3,并假设e3是个单位矢量,于是e3就满足条件 (e,e3)=1(单位矢量),e3-pxnx×x2 (4.1) 那么在这样的选择之下,(xn,xn,e3)就是右手系.这时,行列式det(xn,xn,e3)是 正的,即det(xn,xn,e3)>0,所以是右手系.现在,我的这个方法跟一般的方 法是不同的.一般的书上往往用vn,U参数发展整个的曲面的微分几何,因此 就比较长了.他们这里有一个缺点:因为xn跟x2不一定垂直,那么我们的兴 趣是在于 Euclid几何有一个度量,所以他们用的是非垂直的坐标系,而几何 是一样的,但是分析方面的公式就比较复杂了.而我取e1,e2是单位矢量,它 们是互相垂直的.所以现在e1,e2,e3三个矢量都是单位矢量,而且互相垂直, 并且因为要它是一个右手系,所以它的行列式应该是正的.但是因为这三个 矢量都是互相垂直的单位矢量,所以行列式等于±1,它的平方等于1.所以 我现在是叫这个行列式等于1的,因此这是一个正交的坐标系,它的行列式 等于1,于是 e1,e2,e3(右正交标架):(e,e3)=,(e1,e2,e3)=1,1≤i,j,k≤3.(4.2) 2曲面的微分式及其几何 那么微分几何怎么样呢?这时就不只是有一个坐标系,而是有一族( amily)坐 标系,还有几个变数(变的参数).那么最要紧的一个现象就是一个坐标系跟 它临近的坐标系是怎么一个关系.要了解这个关系是微分几何最主要的问 题.所以我现在有一族坐标系,比方优是有两个变数u,U,甚至可以有多个变 数,那么要找这个临近坐标系跟它的关系,我就把它微分了.现在我这个x是 矢量,e也都是矢量,所以我就求求看dx,看d跟de.这是一个矢量的微分.但 是因为e1,e2,e3是一个标架,是线性无关的,而我们是在3维空间中讨论的 所以任何一个矢量必然是e1,e2,e3的线性组合.所以我可以把le;写成 2
Þe3, ❄✧÷e3✹➬❭➔✪Þ, ➉✹e3Ò✇✖✣● (e3, e3) = 1 (❭➔✪Þ), e3 = xu × xv |xu × xv| 2 . (4.1) ➃ó❨ø④➔✡❷✆, (xu, xv, e3)Ò✹➁❈ø. ❨✣, qï✯det(xu, xv, e3)✹ t④, ýdet(xu, xv, e3) > 0, ➘✶✹➁❈ø. ✙ó, ➲④❨➬✵✛❐✘➘④✵ ✛✹❳✸④. ✘➘④❱Þ⑨⑨⑦u, v ❦❥✕✵r➬④▼➪④❻■✁❬, ❖✩ Ò✞✈➓ê. ➷➣❨➦❿✘➬❜➎: ❖➃xu ❐xv ❳✘➼✒❺, ➃➲➣④❧ ❯✹ó➉Euclid ✁❬❿✘➬ÝÞ, ➘✶➷➣⑦④✹✿✒❺④✰✮ø, ✌✁❬ ✹✘ø④, ❜✹■Û✵➪④Ú✯Ò✞✈❹ìê. ✌➲❘e1, e2✹❭➔✪Þ, ➬ ➣✹➄★✒❺④. ➘✶✙óe1, e2, e3➤➬✪ÞÑ✹❭➔✪Þ, ✌✪➄★✒❺, ❄✪❖➃✞➬✹✘➬➁❈ø, ➘✶➬④qï✯❛➈✹t④. ❜✹❖➃❨➤➬ ✪ÞÑ✹➄★✒❺④❭➔✪Þ, ➘✶qï✯⑧➉±1, ➬④➨✵⑧➉1. ➘✶ ➲✙ó✹✇❨➬qï✯⑧➉1 ④, ❖✩❨✹✘➬t❜④✰✮ø, ➬④qï✯ ⑧➉1, ➉✹ e1, e2, e3 (➁t❜✮✪) : (ei , ej ) = δij , (e1, e2, e3) = 1, 1 ≤ i, j, k ≤ 3. (4.2) 2 ▼➪④❻■✯ùÙ✁❬ ➃❻■✁❬✍➃ø✑? ❨✣Ò❳➄✹❿✘➬✰✮ø, ✌✹❿✘✘(family)✰ ✮ø, ↕❿✁➬★❥(★④❦❥). ➃✦✞➏④✘➬✙✻Ò✹✘➬✰✮ø❐ ➬ø↔④✰✮ø✹✍➃✘➬✞ø. ✞ê❽❨➬✞ø✹❻■✁❬✦❒✞④➥ ☛. ➘✶➲✙ó❿✘✘✰✮ø, ✞✵⑨✹❿Ü➬★❥u, v, ☎➊✱✶❿õ➬★ ❥, ➃✞■❨➬ø↔✰✮ø❐➬④✞ø, ➲Ò➨➬❻■ê. ✙ó➲❨➬x✹ ✪Þ, ei✎Ñ✹✪Þ, ➘✶➲Ò❋❋✗dx, ✗d❐dei . ❨✹✘➬✪Þ④❻■. ❜ ✹❖➃e1, e2, e3 ✹✘➬✮✪, ✹✧✉➹✞④, ✌➲➣✹ó3➅✽✲➙ÿ❳④, ➘✶⑧❬✘➬✪Þ✗❧✹e1, e2, e3 ④✧✉✜❭. ➘✶➲✱✶➨dei❯➘ dei = ωijej . (4.3) 2
这里我用的是 Einstein的符号:如果有一它指数重复的话就相加.因为我们 的空间是3维的,,j,k都是从1到3,那么ue;就是对j相加.所以这是3项, 即j=1,2,3,有3项.这是 Einstein在微分几何引进的符号. Einstein还做了 件事情:比方说,从前你比有它数目,个比有它指数,即x,i这它指数都写 成下标. Einstein说不写下标,他就写了上标,因此往来的微分几何的书里 头,上标非常多.坐标的这它指标都写成上标,其实,上下没有关临.所以 我用下标写成公式(43).公式(43)是基本的公式,个表示两它临近坐标的 关临,一它de跟原来的坐标e的关临.是什么呢?个是一次微分式.因 为de是一次微分式,个的值是矢上的一次微分式,所以你如果写成个的分 上的话,就有3它分上,而且每一它都是de的分上,那么山是一次微分式,因 为,j都是从1到3,所以一共有9它.但是这些不是任并的,这是几何上, 力学上最基本的一它公式.因为我们一切都是正交的临统,所以ω对于下 标,j是反对称的,即 为什么呢?因为e;e满足(e;,e)=6y,你把个微分,又因为 deltai是常数, 所以微分个之往是0,于是就能得到下面公式: (de,e;)+(e,de)=0. 由于de2=kEk,并且e,Ek是互相正交的,所以由上式就得到u+uyn=0,即 公式(4.4).对于所有的,j从1到3,,是反对称的,因此(u)看成一它3×3的 方阵.那么这它方阵是反对称的,个不是有9它元素,实际上,只有3它,并且 因为反对称,所以主(对角)线上的元素都是0,其他的对于主线是反对称的 也就是有 0 ()= 023 (4 因此只剩下3它元素,即只有12,13,23,这3它都是一次微分式.而这3它 次微分式对曲面几何性质是非常比紧的,即个们都可以由微分式来表 普通研究情数论,搞分析的时候,都是讲情数,讨论情数或者是把情数微分
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了,把它的微商作为系数,大家传统不习惯于族次微分式.其实,族次微分 式是把这个问题弄得简单了.我开头的时候曾经跟你们介绍过法国的大数 学家 Darboux的书,它有为大本叫标《曲面论》.这种书很值得看,不过从 惜是法文的.他不用微分式,他用的是选微分,所以有许多公式写起来长族 些.用微分式的话,族次微分式写起来就简单多了.所以我这里用了族次微 分式,用正交标矢,使曲面论非常简单.这些你们在普通微分几何书中很少 能找到但是这种方法很有效,因为族切东西都简单了.我假定曲面是定向 的,即在转的时候有族个反时钟方向.因为定了向之后,在族个点,它有两个 切矢量的话,它的法矢量就完全确定了.因此,曲面定向之后,每族点族定有 族个固定的单偏法矢量,不是它的负的矢量.那么,曲面上有族个很要紧的 几何结构,就是族个点加族个单偏切矢量,即x跟e1,这是现代所谓怎维丛的 最简单的情况,也是最要紧的情况.那么对于x+e1,它多了族个维数,因为 固定了x之后,e1这个单偏切矢量还从以转圈,所以x的轨迹是2维的.那么每 族个r的切矢量还得加1维.这是因为它从以是族个圆,转族个圆周,它是单 偏的.所以这个空间是3维的,而这个3维空间我叫标E E={xe1x∈M}圆丛);dmE=3. (4.7) 有族个3维的空间或者说造出族个3维空间,这个观念要紧极了.现在许多数 学,物理都需要这个观念.族旦你用原来的流形来描写几何不够,往往需要 上面有族个圆圈,这个我们叫标怎维丛.这时圆周是族个怎维,因此这个怎 维丛叫标圆丛.因为怎维是圆,所以E是由流形M(曲面我叫它为M,是族个 流形)造出来的族个圆丛.那么在族点要有e1,就有e2了.这是因为e2是跟它 垂直的族个单偏切矢量,同时从以由原来的定向确定下来因此e1,e2就定 下来了,e3是法矢量当然也定了.所以e1这个单偏切矢量跟标矢是族回通 有了单偏切矢量也从以构造族个标矢,当然有了标矢,你就从以取维族个切 矢量为e1.所以这3维空间就是我们的曲面所有这些标矢e1,e2,e3所所的空 间.于是我们就有上面的公式(47).我说E是3维的,E有族个映在,映到原 来的曲面M:因为你有这个切矢量,它有族个原点x,由re1把它映为x,这是 族个从E到M的映在.要研所曲面的微分几何,单从曲面不够,族定要用E
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E跟原来的曲面有密切的关系,刚才我讲了讲种几何的关系.用E的好处在 于,E的空间是3维的空间,它上头有一次微分式,讲些微分式在E上头都是 确定的.那么除了我讲的e1,e2,e3讲几个单位矢量,当然曲面的点x也是一个 矢量,它的位置矢量也是一个矢量.x是u,v的函数,dx当然是u,的一个 次微分式,它也可以表为e1,e2,e3的一个线性组合.但是线际上,它一定 是e1,e2的组合,讲是因为e3是法矢量,所以它一定是在切面上头,而e1,e2都 是切矢量,所以dx一定是e1,e2的线性组合,它的系数我叫做1,w,即得到我 们第一个公式 d=w1e1+w'2e2 所以我现在有5个一次微分式:u1,2,w13,w23,12.讲组微分式非常要紧,它 们都有简单的几何意义.讲个就说明微分式讨论几何性进使得问题简单而 且容易.现在我们就有公式(4.8).我们将公式(4.3).(44)作为我们的第二个 公式.我在前面讲过,微分式有个最大的优点,就是微分两次后是0,即对 于dx,d(dx)=0.对于任何函数的外微分两次一定等于0,讲就相当于在空 间任意取一个区域,再取它的边界,而边界不再有边界.取边界取两次一定 是等于0.因为讲个性进,讲种数学结构就有所谓的同调( homology)性进.现 在你要搞什么东西,都是同调性进,非常要紧.不过我们现在把公式(4.8)左 边dx再d一下子就等于0,而把右边的展开就得d( onegai1)+d(u2e2),即 (u1en)+d(u2e2)=0, (4.9) 注意当外微分前面有一个一次的话,微分第二个因子要改号.总而言之,你 就把它们微分了.微分之后,就发现所得到的式子是e1,e2,e3的线性组合,那 么它的系数是二次微分式.而对于讲个系数是二次微分式的矢量要等于0的 话,所有的系数都要等于0.于是你如果令e1,e2的系数为0的话,就得到我下 面的第三个公式 u2Au12;du2=u1∧u12 (4.10) 我不详细把它做了,讲个证明很简单,可立即可得.讲是要紧极了的一个公 式.讲些公式你们也许觉得新,因为在普通书上看不见,讲是由于普通不 5
E❐➷✉④▼➪❿➲★④✞ø, ➛❜➲❨ê❨➠✁❬④✞ø. ⑦E④Pÿó ➉, E ④✽✲✹3➅④✽✲, ➬Þ❃❿✘✬❻■✯, ❨❏❻■✯óEÞ❃Ñ✹ ❤➼④. ➃øê➲❨④e1, e2, e3❨✁➬❭➔✪Þ, ❤❧▼➪④➎x✎✹✘➬ ✪Þ, ➬④➔➌✪Þ✎✹✘➬✪Þ. x ✹u, v④❁❥, dx ❤❧✹u, v ④✘➬ ✘✬❻■✯, ➬✎✱✶✱➃e1, e2, e3 ④✘➬✧✉✜❭. ❜✹✧✓Þ, ➬✘➼ ✹e1, e2 ④✜❭, ❨✹❖➃e3 ✹✛✪Þ, ➘✶➬✘➼✹ó★➪Þ❃, ✌e1, e2Ñ ✹★✪Þ, ➘✶dx✘➼✹e1, e2④✧✉✜❭, ➬④ø❥➲✇✮ω1, ω2, ý③t➲ ➣➅✘➬Ú✯: dx = ω1e1 + ω2e2. (4.8) ➘✶➲✙ó❿5➬✘✬❻■✯: ω1, ω2, ω13, ω23, ω12. ❨✜❻■✯✿➒✞➏, ➬ ➣Ñ❿❀❭④✁❬❄❇. ❨➬Ò⑨Ò❻■✯ÿ❳✁❬✉➓✫③➥☛❀❭✌ ✪➂✹. ✙ó➲➣Ò❿Ú✯( 4.8). ➲➣❘Ú✯(4.3),(4.4)✯➃➲➣④➅✓➬ Ú✯. ➲ó✄➪❨✱, ❻■✯❿➬✦▲④⑨➎, Ò✹❻■Ü✬⑨✹0, ýé ➉dx, d(dx) = 0 . é➉⑧❬❁❥④✐❻■Ü✬✘➼⑧➉0, ❨Ò★❤➉ó✽ ✲⑧❄❘✘➬❑➢, ò❘➬④✣➂, ✌✣➂❳ò❿✣➂. ❘✣➂❘Ü✬✘➼ ✹⑧➉0. ❖➃❨➬✉➓, ❨➠❥➛❼èÒ❿➘➣④✸➤(homology)✉➓. ✙ ó✜✞➫✤➃➚Ü, Ñ✹✸➤✉➓, ✿➒✞➏. ❳✱➲➣✙ó➨Ú✯(4.8)✫ ✣dx òd✘✆✝Ò⑧➉0, ✌➨➁✣④✵✌Ò③d( omega1e1) + d(ω2e2), ý d(ω1e1) + d(ω2e2) = 0, (4.9) Õ❄❤✐❻■✄➪❿✘➬✘✬④➏, ❻■➅✓➬❖✝✞➉❘. ✎✌Ó❷, ✜ Ò➨➬➣❻■ê. ❻■❷⑨, Ò✕✙➘③t④✯✝✹e1, e2, e3④✧✉✜❭, ➃➬④ø❥✹✓✬❻■✯. ✌é➉❨➬ø❥✹✓✬❻■✯④✪Þ✞⑧➉0④ ➏, ➘❿④ø❥Ñ✞⑧➉0. ➉✹✜➌✯✌e1, e2④ø❥➃0 ④➏, Ò③t➲✆ ➪④➅➤➬Ú✯: dω1 = −ω2 ∧ ω12; dω2 = ω1 ∧ ω12. (4.10) ➲❳✲û➨➬✮ê, ❨➬②Ò✐❀❭, ✱➪ý✱③. ❨✹✞➏ôê④✘➬Ú ✯. ❨❏Ú✯✜➣✎➂ú③❝, ❖➃ó✃✴❱Þ✗❳❉, ❨✹❸➉✃✴❳ 5