第三讲曲线论 2001年10月26 1平面曲线 我想这几次跟大家讲一点微积分在几何上的应用.这是非常要紧的发展 那么,从最简单的情况开始,我们就讲平面上的曲线.假设平面上有一条曲 线x()=(x1(t),x2(1),即在这个图上所在的情况.用微积分的话呢,就是这 条曲线有条切线切线有个切矢量.对于切矢量,我们取这个矢量是单位矢 量,它的长度是1,也就是取为单位切矢量.于是我们知道假使把坐标x表示 成弧长s的函数的话,这就表示这个单位切矢量就是x对s的微分芸,即单位 切矢量为 e1=dndr2)a2)=1,s是弧长,en0(3.1) 那么怎么样研究这条切线呢?很简单,那就是有了一个单位切矢量之后,并 假设如果平面是定向的,即有一个转动的方向,那么它就有一个单位法向量, 也就是跟它垂直的那个单位矢量.现在,我叫e1是单位切矢量,e2是单位法 矢量.于是要得到这条切线的性质,第一件事情就是把e1这个函数对于s再求 微分.那么再求微分之后,当然这是一个新的矢量.因为e1是一个单位矢量 所以(e1,e1)=1.那么把它微分一下子,我们就得到同e1垂直,所以它 定在法线的方向.因此,我们就有尝等于单位法矢量e2的倍数.这个倍数是 弧长的一个函数,我们叫k(s).这个倍数满足 ke2,e2是单位法矢量,(e,e2)=0 32) k这个函数一般叫做曲率,是这条曲线在这个平面里头最要紧的一个性质, 是弧长的一个函数 习题 对于给定的曲线方程,给出曲率k的公式.[提示:k是曲线方程的一阶和 二阶微分的一个函数
➅➤❨ ▼✧❳ 2001★10Û26❺ 1 ➨➪▼✧ ➲✳❨✁✬❐▲✛❨✘➎❻è■ó✁❬Þ④❛⑦. ❨✹✿➒✞➏④✕✵. ➃, ✱✦❀❭④❁❨✌✮, ➲➣Ò❨➨➪Þ④▼✧. ✧÷➨➪Þ❿✘✣▼ ✧x(t) = (x1(t), x2(t)), ýó❨➬❈Þ➘ó④❁❨. ⑦❻è■④➏✑, Ò✹❨ ✣▼✧❿✣★✧. ★✧❿➬★✪Þ. é➉★✪Þ, ➲➣❘❨➬✪Þ✹❭➔✪ Þ, ➬④➓Ý✹1, ✎Ò✹❘➃❭➔★✪Þ. ➉✹➲➣⑧✇✧✫➨✰✮x✱✰ ➘➀➓s④❁❥④➏, ❨Ò✱✰❨➬❭➔★✪ÞÒ✹x és ④❻■dx ds ,ý❭➔ ★✪Þ➃ e1 = (dx1 ds , dx2 ds ),(e1, e1) = 1, s ✹➀➓. eqno(3.1) ➃✍➃øÏ➘❨✣★✧✑Ú✐❀❭, Ò✹❿ê✘➬❭➔★✪Þ❷⑨, ❄ ✧÷➌✯➨➪✹➼✺④, ý❿✘➬Ý➘④✵✺, ➃➬Ò❿✘➬❭➔✛✺Þ, ✎Ò✹❐➬✒❺④➬❭➔✪Þ. ✙ó, ➲✇e1✹❭➔★✪Þ, e2 ✹❭➔✛ ✪Þ. ➉✹✞③t❨✣★✧④✉➓, ➅✘●✴❁Ò✹➨e1❨➬❁❥é➉sò❋ ❻■. ➃ò❋❻■❷⑨, ❤❧❨✹✘➬❝④✪Þ. ❖➃e1✹✘➬❭➔✪Þ, ➘✶(e1, e1) = 1. ➃➨➬❻■✘✆✝, ➲➣Ò③tde1 ds ✸e1✒❺, ➘✶➬✘ ➼ó✛✧④✵✺. ❖✩, ➲➣Ò❿de1 ds ⑧➉❭➔✛✪Þe2④õ❥. ❨➬õ❥✹ ➀➓④✘➬❁❥, ➲➣✇k(s). ❨➬õ❥✇✖ de1 ds = ke2, e2 ✹❭➔✛✪Þ,(e1, e2) = 0. (3.2) k❨➬❁❥✘➘✇✮▼●, ✹❨✣▼✧ó❨➬➨➪➦❃✦✞➏④✘➬✉➓, ✹➀➓④✘➬❁❥. ó☛: é➉➱➼④▼✧✵➬, ➱ñ▼●k ④Ú✯. [✡✰Õk✹▼✧✵➬④✘⑦❩ ✓⑦❻■④✘➬❁❥] 1
2空间曲线 从平面曲线再进一步怎么样呢?我们看看空间的情形.假设我们现在有 条曲线是空间的曲线x(t)=(x1(t),x2(t,x3(t).在3维空间里有切线,所以 这个空间的坐标x,y就表示为参数t的函数.这些东西你们大概都知道,我 再温习一下子.所以x(t)是一个矢量,它的分量就是点的坐标,而点是t的 函数.于是它就作一条切线,这3个分量叫做x(t)(=1,2,3).x(t)是一个矢 量,是参数的函数,它的3个分量就是把点的坐标表示为t的函数,那么怎么 进行呢?同样的方法就是对这条曲线用微积分.假定曲线有切线,并且在切 线上面有单位矢量,即有单位切矢量.对曲线有个方向,一直这么走,沿着 个方向,比如说参数t是增加的一个方向.总而言之,我们就有一个单位切 矢量,叫它e1,那么跟平面同样的情况,把e1这个函数对s再求微分,就等于 说对s求二阶的微分.因为e1是单位矢量,所以得到的这个微分跟e1是垂直 的.而对于一条空间中的曲线,它的切线是一条,它的法线有无数个.其实 经过这一点跟切线垂直的法线有无数个,那么其中有一个是会,它是不完全 确定的.由于同样的理由,我把这个方向的单位矢量叫做e2,那么它就是ke2 即可以写成 e2是其中一条法线,我们叫它为主法线( principal normal),而k这个函数与平 面的情形一样,叫做曲线的曲率.所以现在,我有一个切线的方向和一个主 法线方向.在三维空间就有另外一个方向跟这两个方向垂直,我们通常叫 它 binormal.总而言之,存在另外一个法线,所以它有两个法线.那么这两个 法线所成的平面就是法平面.曲线是1维的,切线是1维的,所以法线是2维的, 是个平面.那么有一个e3=e1×e2,其中e1×e2是矢量积.对于两个方向的 话,有一个确定的第三个方向是跟它们垂直的,并且使得e1,e2,e3成一个正 交系统.我们假定这个空间是定向的,右手,左手都有一个确定的方向.通 常我们都用右手,所以就有一个确定的e3满足 (ei, ei)=dij 2
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因此在研究三维几何的时候,这样的三个互相垂直的单位矢量所成的图形 非常要紧.这是为什么呢?这样一个东西我叫它标架.你把一个标架搬到另 个标架的运动是完全确定的.那么三维空间最要紧的性质就是三维空间 的运动.我们要研究的几何性质是经过运动不变的.所以就要知道什么时候 你可以把这个东西搬到另外一个位置,什么时候它的位置相差在于一个运 动,而标架就是这个运动解析的表示的方法.你要能够搬过去就表示这个标 架搬到另外一个标架的运动是完全确定的.显然,只有一个运动并且一定 有一个运动把一个标架变为另外一个标架.因为要研究空间经过运动不变 的性质,所以解析的方法就是利用标架.那么假使我现在有一条曲线,我不 只有一个标架,这些标架是时间的函数,在那里运动.因此e;这三个作为标 架的矢量都是时间t的函数,于是我可以求它的微分盘.盎是个矢量因为 是(e1,e2,e3)是个标架,所以任何一个矢量就可以写成e1,e2,e3这3个矢量的 线性组合.那么我把它稍微曲广一点,就把它写成de等于e的线性组合 dei wii ek 这个组合的系数是一次微分式,这是因为我现在做了一下微分,由这函数便 得到一次微分式,那么这样的一次微分式我叫它山,这就表示两个相邻的 标架的关系.你有一个e1的标架,旁边有个相邻的标架e1+de,那么de;表 为e1的函数的时候,它的组合的系数就是一次微分式.;是一次微分式,在 这里,我的指标,都是从1到3,3是我们空间的维数,所以一共有9个 i,每一个从1到3,所以一共有9个.这9个一次微分式是有关系的,它不是完 全任意的.这个关系就是 所以假使你把心看成一个3×3的方阵的元素的话,这个方阵是反对称的 这一组方程很容易从e,e的内积等于b得到:把这个关系(方程(34)微分 的话,就立刻得到这一组性质.这就是说()是一个3×3方阵的元素,这 个方阵的元素都是一次微分式,并且这个方阵整个是反对称的,换句话说, 这个方阵主角线上的元素是0.其它呢,由于反对称,有12=-u21等,是反 对称的.因此我们现在有一个单位切矢量,有一个主法矢量,还有一个与它
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们垂直的成一个标架的e3=e1×e2(矢量积).对于这个标架,我把它的三个 方程都对弧长求函数(微分),就可以把这个函数表为e1,e2,e3的一个线性组 合.这个组合是这样的一组方程:第一个方程是de1=ke2.因为我们的方阵 是反对称的,主对角线上的元素都是0,所以13=0.但是其他的元素要注 意e3的位置,由于e1,e2选择的关系,u13是等于0的.因此31也等于0.所以 这个方阵写出来,就是我下面的3个方程 de d ke1+we3 这组方程是当年曲线论发展的时候最早的一组方程.我们通常叫它 Frenet 方程, Fren et是法国的一个数学家.我想这是他的的博土论文.他不一定是 头一个给出这个方程,当时有几个人做出这个工作.从我讲的,你们可以看 出来得这个方程并不太困难.因此我除了曲率以外,还有另一个函数u 就是方程中的挠率( orison),也是弧长的函数,是表示空间的曲线在运动群 下的性质.所以空间曲线有两个函数,一个是曲率,另一个是挠率,挠率就是 描写它怎么样不是一条平面曲线,它是在空间弯曲的一个量.所以空间曲线 是用两个函数来描写的,它们解析地描写这空间的性质.这两个函数显然很 重要,因为它们要是等于0的时候,就表示了曲线很简单的性质.要是k=0 的话,这曲线就成为直线这很容易证明,我下面给出证明:因为k=0,所 以de1=0.因此单位切矢量e1是一个常数,因为这样它的微分才等于0.那么 你把这个常数e1=C代入到e1=中,再把它积分一下子就得到x是s的 次函数 C (38) 所以这就是一条直线反过来也很容易能证明如果你有一条直线的话,它的 曲率k是等于0的.因此k=0代表曲线的最简单的性质,就是直线.那么要 注意的是在定挠率的时候,一定要k≠0.若是k=0的,于是当=0.也就 是直线了.这时它就没有法子定主法线.一条直线跟它垂直的是一个平面
➣✒❺④➘✘➬✮✪④e3 = e1 × e2(✪Þè). é➉❨➬✮✪, ➲➨➬④➤➬ ✵➬Ñé➀➓❋❁❥( ❻■), Ò✱✶➨❨➬❁❥✱➃e1, e2, e3 ④✘➬✧✉✜ ❭. ❨➬✜❭✹❨ø④✘✜✵➬Õ➅✘➬✵➬✹de1 = ke2. ❖➃➲➣④✵❥ ✹✬é➪④, ❒é♥✧Þ④➹↔Ñ✹0, ➘✶ω13 = 0. ❜✹Ù➷④➹↔✞Õ ❄e3④➔➌, ❸➉e1, e2 ➔✡④✞ø, ω13 ✹⑧➉0④. ❖✩ω31 ✎⑧➉0. ➘✶ ❨➬✵❥❯ñ✉, Ò✹➲✆➪④3➬✵➬: de1 ds = ke2 de2 ds = −ke1 + ωe3 (3.7) de3 ds = −ωe2 ❨✜✵➬✹❤★▼✧❳✕✵④✣⑧✦④✘✜✵➬. ➲➣✴➒✇➬Frenet ✵➬, Fren et✹✛✮④✘➬❥➛✛. ➲✳❨✹➷④④❋✱❳➞. ➷❳✘➼✹ ❃✘➬➱ñ❨➬✵➬, ❤✣❿✁➬⑤✮ñ❨➬Ó✯. ✱➲❨④, ✜➣✱✶✗ ñ✉③❨➬✵➬❄❳Ô❤✡. ❖✩➲øê▼●✶✐, ↕❿☞✘➬❁❥ω. ω Ò✹✵➬➙④☞●(torison), ✎✹➀➓④❁❥, ✹✱✰✽✲④▼✧óä➘❦ ✆④✉➓. ➘✶✽✲▼✧❿Ü➬❁❥, ✘➬✹▼●, ☞✘➬✹☞●, ☞●Ò✹ ➹❯➬✍➃ø❳✹✘✣➨➪▼✧, ➬✹ó✽✲❦▼④✘➬Þ. ➘✶✽✲▼✧ ✹⑦Ü➬❁❥✉➹❯④, ➬➣❽Û➃➹❯❨✽✲④✉➓. ❨Ü➬❁❥✗❧✐ ➢✞, ❖➃➬➣✞✹⑧➉0④✣⑧, Ò✱✰ê▼✧✐❀❭④✉➓. ✞✹k = 0 ④➏, ❨▼✧Ò➘➃❺✧. ❨✐➂✹②Ò, ➲✆➪➱ñ②ÒÕ❖➃k = 0, ➘ ✶de1 = 0. ❖✩❭➔★✪Þe1✹✘➬➒❥, ❖➃❨ø➬④❻■❜⑧➉0. ➃ ✜➨❨➬➒❥e1 = C❙➐te1 = dx ds➙, ò➨➬è■✘✆✝Ò③tx✹s ④✘ ✬❁❥Õ x = Cs. (3.8) ➘✶❨Ò✹✘✣❺✧. ✬✱✉✎✐➂✹✕②Ò➌✯✜❿✘✣❺✧④➏, ➬④ ▼●k ✹⑧➉0④. ❖✩k = 0 ❙✱▼✧④✦❀❭④✉➓, Ò✹❺✧. ➃✞ Õ❄④✹ó➼☞●④✣⑧, ✘➼✞k 6= 0. ➙✹k = 0 ④, ➉✹de1 ds = 0, ✎Ò ✹❺✧ê. ❨✣➬Ò➊❿✛✝➼❒✛✧. ✘✣❺✧❐➬✒❺④✹✘➬➨➪, 4
这个平面里头所有跟此直线垂直的展向都是有同样的性长,所以就没有主 法线,因此也不能定另率.另率一定要在这点的曲率k≠0的时候才有意义 而当另率等于0的时候,当然就是表示这时曲线是在平面上一时曲线.下面 我也给了一个简单的证明.因为另率这个函数是在 Frenet公式的第三个公 式里.所以由u=0可知此时e3是个常数的架量.对于e3这个常数架量,由 于e是一个法线,并且因为法线跟切线是永远垂直的,所以e3跟的内积 是永远等于0.因此e3要是等于常数的话,我就可以把展程 (3.9) 积分.因为e3是一个常数,所以这积分就是e3跟x的内积等于一个常数.因 此它是一个平面曲线,于是u=0是表示曲线是个平面曲线.反过来,可以 很容易证明平面曲线的另率是0.所以曲率和另率两个函数都有简单的几何 性长.另外一种很有意思的曲线是k与u都不为0,但都是常数.那地在这个 情形之下,可以证明曲线是个螺线.就是这样简单的微积分的应用在生太 化学上有重要的意义.因为我们知道生太化学的一个主要的化合太是DNA. DNA是两时螺线,是个双螺线,这是生太上非常基本之现象.在生太上,这 样的曲线就跑出来了.因此,曲线论在生太化学有重要的应用,也就是大家 要知道曲线的性长如何影响DNA的化学性长,所以数学就很重要了.曲线 的性长影响到化学的性长,尤其是在化学里头,有时候你把DNA切断了,它 的性长就改变了.所以切断之后,数学性长就发生改变,它的化学性长也改 变,讨论它们如何改变,这是在DNA的研究及在生太化学展面是非常基本 的问题,大家做了很多的工作.现在拿一本微生太化学的书要翻开来的话, 就看见有一个基本的公式,叫做 White公式. White是我的一个学生的学生, 他做这个工作是他博士论文的一个结果.他运气很好,他这个结果变为生太 化学的一个基本的公式.我现在不能讲这个结果 5
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