第二讲指数与对数函数 2001年10月19日 1本课的计划和目的 还有几分钟,我想趁这个机会讲一讲我的计划和目的.我这个课的课时 是8个小时,但微积分大得不得了,微积分的范围很广.不要说8个小时,就 是80个小时也讲不完的.所以我当然只能讲个大概,尤其是介绍整个的有 些意义的问题.至于详细的情形我没法去多讲.不详细的定义或者证明 我想你们已经学过微积分,所以我都不一定要给你们参考书,你们回去看 看自己以前用的书,大概在书里找得到.也有我的讲的范围和内容是书 中没有的.我觉得应该提一提微积分整个的影响或者是在那些方面向前发 展.可以说,微积分向前发展大概有两个最重要的方面.一个是在几何的应 用.微积分在微分几何的应用,最早是Gaus.Gass也许不是最早的,应该 还有别的人,如 Euler, Monge等人.不过,我想Gaus是19世纪全世界最伟大 的数学家.数学在那时候,全世界也就是西欧了.因为这个原因,德国的数 学在19世纪是全世界最好的.那时,不但有Gaus,还有 Gauss的影响及其学 生.Gass最要紧的学生就是 Riemann.因为有 Gauss和 Riemann,德国的数 学就领先,领先的意思就是大家跟着他的方向去发展.在几何上的应用的发 展是很多的.当年 Einstein曾说过物理现象就是儿何现象,以此发展他的广 义相对论.广义相对论当然要用坐标, Einstein了解最初的坐标表示几何问 题,希望坐标(x,y)有几何的意义当一个物理学家觉得应该有几何的或物 理的意义时,他做起来才比较合理.不过, Einstein慢慢了解这个做不到,因 为空间呢,来得比较复杂,它允许任意坐标,允许坐标的任意选择,因此也允 许坐标变换,这就是我们现在所叫的流形.流形的概念是空间概念的推广 本来用的是 Euclid:空间或者非欧空间等只有几个空间,现在推广的流形就整 个推广了.推广了以后,整个的空间观念在物理上影响向前发展了.因此几 何里头要描写物理现象就需要几何新的概念.除了流形之外,还有纤维丛的
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观念.在下面的课中,我想稍微跟大家讲一讲几何方面的发展.微积分还有 个发展,最要紧的是复数.很奇怪的,普通的数目是实数,那么在实数域 上,x2+1=0就没有解.在复数域上,我们不但使它有解,并且复数有非常 巧妙的性质,有很多现象都被放在复数里头了.复数与实数一样,有运算的 规律,你用这个规律之后,复数代表了很多现象.我们以后会看到在复数里 头的这些内容.所以,数学要应用,我们这个课是应用数学,要学会应用.要 应用的话,会发现复数很要紧.因此,复变函数论在19世纪的发展是数学里 头最要紧的,是一个比其它方面的发展来得更要紧一些的发展.最后,我得 留点时间讲讲在复数方面的应用.复数不只是使得对于任一个方程式有解, 并且利用复数,很多数学问题来得简单.复变函数论比实变函数论简单多 了.实变函数论有许多抽象的问题,其实与实际不大有关系,不过当时也需 要了.所以这是两个题目,我要在这个课程里头把它们想办法讲一点,使得 大家能了解微积分在它们上的应用是最重要的两个方向 2关于 Stokes公式的补充 上次讲到了微积分的基本定理,有时候就写成这种形状 rd=/ole-(/ra=() (21) 即这两个式子相等.很惭愧地,当年我在南开思源堂念微积分,我自己就 有一个问题,为什么这就是基本定理,始终不懂.很不幸地,你们大概现在也 还有这个习惯,不敢问问题.我那时也不敢问问题,跟你们现在一样,始终 不懂,过了很多年,才知道(21)的确是基本定理.这是因为(21)说明了微分 与积分的关系.这个式子的两端,一边是个定积分,是一个面积,右边是微 分相反的运算,所以右边的积分是一个不定积分,换句话,是一个函数,它的 微分是∫(x).也就是说,它的左边是积分,右边是微分.那么这个基本定理 就说明了微分与积分的基本关系.大致上说,微分是积分的一个反运算,就 是要找一个函数,使得它作为已知函数的微分.现在的问题是,到了高维怎 么样?这个基本定理是一个变数的.现在假设多变数,会怎么样?这就是 2
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多变数的微积分.有一个n维的空间,n维下来就有许多不同的维.多变数的 微积分基本观念是个重积分,在平面上是一个二重积分,在高维的空间是多 重积分.我上次讲了,积分有一个积分的区域,积分是在一个区域里求积分 然后还有一个算子,主要讨论积什么东西,这一个函数是什么东西.我上次 讲这个算子是一个外微分,外微分就是dx,dy这些微分乘起来.不过这个乘 法是反对性的,反对称妙极了.因为反对称之后,一个dx不能够存在两次 即(dx)2=0.一个要紧的问题是什么叫dax,这个问题比较复杂,讲起来比较 长.这个问题也就是什么是一个函数的微分.我们假定dx是确定的,有意义 的.以dx为变数造一个多项式,这个多项式的乘法是反对称,这种反对称乘 法的多项式叫外微分式,外微分式就是指积分的一个对象,在一个区域里积 这个外微分.这也可以看作一种配偶(pair),有一个区域,再有一个积分和, 放在一起,积分有一个值,这个值是一个数,这两个是配合的结果.有了这个 多重积分的观念之后,多变数的微积分基本定理,就是所谓的 Stokes定理.St okes定理是一个几何的现象与一个分析现象联合的结果.在高维时候,例如 在n维的空间,假使存在一个k维的区域,它可以是低维的任意区域有这样 个k维区域,例如平面上一个二维区域,空间中一个曲面等,很明显地,这 个低维区域有一个边界.区域有边界的观念是代数拓扑一个基本观念,你要 研究它的边界关系,一个深刻的研究就引到所谓(下)同调群( homology) 同调群是代数拓扑研究空间性质的最基本的一个观念.现在有一个k维区 域△,它的边界写成O△.另外有一个(k-1)维外微分,外微分式子是k-1次 微分以后为k次.所谓 Stokes定理,就是说对于w是一个k-1维外微分式,它 的外微分d在△上积分等于把在△边界上求积分,即 质是外微分式 这个就是所谓 Stokes定理.这是多变数微积分的一个基本定理.在龚升先生 写的书中,也特别提出这个观点这个基本定理的确包括我上面讲的那个基 本定理作为特别情形.假使这个空间是1维的,在1维的情形,区域是线段,它 的边界就是线段的两个端点,两个点求u在两个端点的值(其中u为那个不 定积分)就是我在上面基本定理的公式的右边函数在b的值减去在a的值,就
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是在边界上u的积分,而左边就是在这个假段的积分,就是从a到定积分 所以,不难显出性 Stokes定理在直假(1维)的情形就是微积分的基本定理.那 么2维的情形呢?2维就是很有名的所谓 Green定理 (Pr-Qy)d dy=/Pdz+Qdy 2维情形时,区域是2维的,它的边界是曲假于是(23)就是平常的Gre定 理,你们都知道,都很熟悉.所以 Stokes定理在平面上的特别情形就 是Gren定理. Stokes定理有不同的名字,显你用哪一本书.不过现在比 较通行叫 Stokes定理.那么还有另外的一个特别情形:在三维空间,假设有 个曲面,它是一个三维区域的边界,那么C此时 Storkes定理就写成 / (P2+Qy +R2)d rdydx=/Pdydz+Qd cdz+Rd rdy.(2.4) 你们在学高等微积分已经碰到了,一个二次式在边界(曲面)上的重积分等于 它的三次式在区域里头的三重积分.这是 Stokes公式的另外一个情况.整个 的情况在高维都对.有一个基本性质,就是外微分d用两次一定等于0.假 使 omega是一个外微分式,那么 d(d(u)=0 这个方程非常容易证明.对于ω,外微分式显然是假性的,所以你只需要 把当成一个单项性证明就行了,这是因为你每一项的d2都等于0.于是对于 单项的情况,单项是一组d乘上一个函数.显然,只要证明一个函数用两次d, 它一定等于0就可以了.我底下算了一下:在一个n维的空间中,它的坐标 是(x1,…,xn).有一个函数是∫是x的函数,d一次的话,就是普通的偏微分, 也就是dx,再微分一次,得到二级偏微分,再乘dx1∧dr,这个二阶偏微 分是对称的,这是因为求偏微分与次序无关.因此这个系数是对称的,而 我们这两个dr,dr的乘法是反对称的,显然两次微分之后就等于0了,即 d(df)=d(fid ri)=fiy. c, A d;=0 (26) 这里,因为固定了与j,就得到d-df,但是因为∫是对于这个指标是对称 的,所以就是0了.因此上面证明了对于函数的d2=0,这就可以了. Stokes定
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理可以说区重与外微分是一个对偶,使得求边界跟算这个d这两个算子是adj oint,是对偶的算子,这是个了不得的结果.因地求边界,是一个几何运算 其实求一个区重的边界是一个完全的几何的运算,是整个的区重的一个性 质.求外微分d是一个局部的,分析的运算,是完全局部的,只与这一点的许 近有关系,所以一个是整体的几何算子.一个是局部的分析算子,它们是 对偶的. Stokes定理说它们是对偶的,所以这是一个重要极了的定理.我可 以下面稍微讲得多一点.空间不一定是普通的 Euclid空间,也许空间拿r做 坐标地所谓的流形.假设空间是一个流形的话,也可以讨论它的外微分式 例如k次的外微分式.一个k次的外微分式加另外一个k次外微分式还是 个k次的外微分式,于是所有的k次的外微分式成地一个我们所谓的矢量空 间( vector space,在其中可以进行加减.现在我就讨论所有d=0的这种外 微分式,即外微分地0的那些外微分式.在数学上,我们称这种外微分式是写 闭( (close)的.这些写闭的外微分式构成矢量空间,因地两个cose外微分相加 仍地写闭的.设 I={u是k次外微分式},C={u∈r,du=0}.(27) 那么我取,w是一个写闭的外微分式.现在我把Ck当成一个群,这个群有个 子群,这个子群是什么呢?它就是所有的k-1维的外微分式子用d来作用 因地d=0,所以它就一定是cose的.因此在所有的写闭的k次外微分式构 成的C中,所有d乘上一个k-1次外微分式成地一个子群.于是整个群用子 群一除,在群论里头说它是一个商群( quotient).这个群有个名字叫 de rha group H=ck/drk (28) 这在拓扑上非常重要,就是说,外微分式多得不得了,甚至于 close的外微分 式也多得不得了,而在你除dB之后,在很多函形之下,就变成一个有限维的 矢量空间.那么这个有限维空间的维数是这空间的一个重要的性质,通常叫 做 Betti number,这是代数拓扑中最浅的一个基本观念.也就是我们讨论外 微分式可以决定它的有些拓扑的不变式 5
➤✱✶⑨❑➢➛✐❻■✹✘➬é❙, ✫③❋✣➂❐➤❨➬d❨Ü➬➤✝✹adj oint, ✹é❙④➤✝, ❨✹➬ê❳③④❼✯. ❖➃❋✣➂, ✹✘➬✁❬ä➤, Ù✧❋✘➬❑➢④✣➂✹✘➬q❭④✁❬④ä➤, ✹r➬④❑➢④✘➬✉ ➓. ❋✐❻■d✹✘➬Û❭④, ■Û④ä➤, ✹q❭Û❭④, ➄➛❨✘➎④➂ ↔❿✞ø, ➘✶✘➬✹r✍④✁❬➤✝. ✘➬✹Û❭④■Û➤✝, ➬➣✹ é❙④. Stokes➼➤⑨➬➣✹é❙④, ➘✶❨✹✘➬➢✞ôê④➼➤. ➲✱ ✶✆➪ã❻❨③õ✘➎. ✽✲❳✘➼✹✃✴④Euclid✽✲, ✎➂✽✲üx✮ ✰✮➃➘➣④✖♦. ✧÷✽✲✹✘➬✖♦④➏, ✎✱✶ÿ❳➬④✐❻■✯, ➽➌k✬④✐❻■✯. ✘➬k✬④✐❻■✯✜☞✐✘➬k✬✐❻■✯↕✹✘ ➬k✬④✐❻■✯, ➉✹➘❿④k✬④✐❻■✯➘➃✘➬➲➣➘➣④✪Þ✽ ✲(vector space), óÙ➙✱✶➓q✜❃. ✙ó➲Òÿ❳➘❿d = 0④❨➠✐ ❻■✯, ý✐❻■➃0④❏✐❻■✯. ó❥➛Þ, ➲➣➪❨➠✐❻■✯✹❯ ✔(close)④. ❨❏❯✔④✐❻■✯è➘✪Þ✽✲, ❖➃Ü➬close✐❻■★✜ ❹➃❯✔④. ÷ Γ k = {ω|ω ✹k ✬✐❻■✯}, Ck = {ω|ω ∈ Γ k , dω = 0}. (2.7) ➃➲❘ω, ω✹✘➬❯✔④✐❻■✯. ✙ó➲➨C k❤➘✘➬❦, ❨➬❦❿➬ ✝❦, ❨➬✝❦✹✤➃✑Ú➬Ò✹➘❿④k − 1➅④✐❻■✯✝⑦d✉✯⑦. ❖➃d 2 = 0, ➘✶➬Ò✘➼✹close④. ❖✩ó➘❿④❯✔④k✬✐❻■✯è ➘④C k ➙, ➘❿d➷Þ✘➬k − 1✬✐❻■✯➘➃✘➬✝❦. ➉✹r➬❦⑦✝ ❦✘ø, ó❦❳➦❃⑨➬✹✘➬Û❦(quotient). ❨➬❦❿➬Ö✠✇de Rham group: H k = C k /dΓ k . (2.8) ❨ó❴➚Þ✿➒➢✞, Ò✹⑨, ✐❻■✯õ③❳③ê, ☎➊➉close④✐❻■ ✯✎õ③❳③ê, ✌ó✜ødβ❷⑨, ó✐õ❁♦❷✆, Ò★➘✘➬❿✦➅④ ✪Þ✽✲. ➃❨➬❿✦➅✽✲④➅❥✹❨✽✲④✘➬➢✞④✉➓, ✴➒✇ ✮Betti number, ❨✹❙❥❴➚➙✦✝④✘➬äý✡✬. ✎Ò✹➲➣ÿ❳✐ ❻■✯✱✶û➼➬④❿❏❴➚④❳★✯. 5