几何布朗运动 ●在 Black-Scholes(1973)和 Merton 1973)的论文中,都假定价格的波动 (运动)服从几何布朗运动,即 B=×e l+o×B E(p)=e (+2/2)x C,(t,s)= (4+a2/2)(t+s) X(e 1),s≤ O (t) auto)t 0-×t Xe x
几何布朗运动 ⚫ 在Black—Scholes（1973）和Merton （1973）的论文中，都假定价格的波动 （运动）服从几何布朗运动，即 ( ) ( ) ( , ) ( ), ( ) ( ) ( / )( ) ( / ) 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 = − = − = = + + + + + u t t x u t s s x u t t u t B t t e e C t s e e s t E P e P P e t
aylor展开 ●以双变量的 Taylor展开为例。三阶略去 f(t+dt, Bd)-f(t, B,) =f(t, B,)dt+f2(t, B, )dB +1/2LG(,B)(dn)2+2f1(,B1)dl +/2(,B,B)2]+
Taylor展开 ⚫ 以双变量的Taylor展开为例。三阶略去。 ( , )( ) ] ... / [ ( , )( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) + + + + = + + + − 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 t t t t t t t t t d t t f t B dB f t B dt f t B dtdB f t B dt f t B dB f t dt B f t B
to引理 f(B)-f(B,)=f(B,)dB+1/2|f"(B,)dB,)2 (dB )=B+di-B)=dt s<t f(B)=f(B,)=Jf(B.)B2+12(B f(t,B,)-f(S,B)=2(x,B,dB +(f(x,B2)+1/2/2(x,B)x
Ito引理 + + − = − = + = − = − = + + t s x x t s t s x x t s x t s t s x x x t d t t t s x x t s t s x x f x B f x B dx f t B f s B f x B dB f B f B f B dB f B dx dB B B dt s t f B f B f B dB f B dB ( ( , ) / ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) / ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) / ( )( ) 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2
第二节不确定情形下的 连续时间资产组合决策 以 Merton(1969)的经典论文为例 ●在 Merton(1969)之前,有少量的文章 分析多期下的资产组合问题,或者在分 析经济问题的时候运用多期分析的框架 例如, Tobin(1965)、 Phelps(1962 和 Samuelson(1969) ●从严格的意义上讲, Merton(1969)的 文章是连续时间金融领域的奠基之作
第二节 不确定情形下的 连续时间资产组合决策 ⚫ 以Merton（1969）的经典论文为例 ⚫ 在Merton（1969）之前，有少量的文章 分析多期下的资产组合问题，或者在分 析经济问题的时候运用多期分析的框架 ⚫ 例如，Tobin（1965）、Phelps（1962） 和Samuelson（1969） ⚫ 从严格的意义上讲，Merton（1969）的 文章是连续时间金融领域的奠基之作