数学系一年级第二学期期末考试试卷 《数学分析》A参考答案 判断题:(8×2分=16分) (1)若x0为∫的极值点,则x0为∫的稳定点。(×) (2)若∫在x0二阶可导,则(xn,f(x)为曲线y=f(x)拐点的必要条件是 ∫"(x0)=0(√) (3)设EcR2为有界无限点集,则E在R2中至少有一个聚点 (√) (4)「sn5xdr=0。 (√ (5)若∫在[ab]上有无限个间断点,则∫在[ab上必不可积。(×) (6)∫。收敛了f收敛 ( (7)设f为幂级数∑ax在(-R,R)上和函数,若∫为奇函数,则幂级数 ∑ax仅出现奇次幂的项。(√) (8)边界点一定是聚点。(×) 二、填空题:(2×3分=6分) 1、闭区间套定理:若{anbn]}是一个区间套,则存在唯一一点5使得 5∈[an,b减或an≤5≤bnn=12 2、Sr"m 当<e时绝对收敛 三、计算题:(4×7分=28分) 1、求由两抛物线y2=x与y=x2围成的面积S。 解:如图一所示,S=「(x-x2)dx(⑤5分) (7分) 2、求mm(+1n2+22…+) 解:原式=im (2分)
- 5 数学系一年级第二学期期末考试试卷 《数学分析》A 参考答案 一． 判断题： （8×2 分=16 分） （1）若 0 x 为 f 的极值点，则 0 x 为 f 的稳定点。（×） （2）若 f 在 0 x 二阶可导，则 ( , ( )) 0 0 x f x 为曲线 y = f (x) 拐点的必要条件是 f (x0 ) = 0 （√） （3）设 2 E R 为有界无限点集，则 E 在 2 R 中至少有一个聚点。 （√） （4） sin 0 1 1 5 = − xdx 。 （√） （5）若 f 在 [a,b] 上有无限个间断点，则 f 在 [a,b] 上必不可积。（×） （6） + a f 收敛 + a f 收敛 （×） （7）设 f 为幂级数 n n a x 在 ( , ) −R R 上和函数，若 f 为奇函数，则幂级数 n n a x 仅出现奇次幂的项。（√） （8）边界点一定是聚点。（×） 二、填空题： （2×3 分=6 分） 1、闭区间套定理：若 [an ,bn ] 是一个区间套，则存在唯一一点 使得 [an ,bn ]或an bn n =1、2 2、 =1 ! n n n n x n 当 x e 时绝对收敛。 三、计算题： （4×7 分=28 分） 1、求由两抛物线 y = x 2 与 2 y = x 围成的面积 S 。 解： 如图一所示， = − 1 0 2 S ( x x )dx (5 分) 3 1 = (7 分) 2、求 ) 2 1 2 1 1 1 lim ( 2 2 2 2 n n n n n + + + + → + 解：原式 = → + = n i n n i 1 n 2 1 1 ( ) 1 lim ， (2 分)
其中的和式是函数f(x)1+x 在[0,]上的一个积分和(4分) 所以原式于1+ d x= arctan z Cedt 3、求im e dt 解:lin (3分) dt x→① =lim (7分) x→① 4、要制作一个有盖的圆柱形罐头,其体积为V不变 问怎样选择其髙与底面半径使得其表面积最小? 解:设其高为h半径为r则有 h s=2m+2mrh 于是=2m2+2 (2分) 故有:S(r)=4m 令S(r)=0得r={为S的最小值点 (5分) 此时求得h=:A4 h 2 故当r=N2丌 h 时其表面积最小。 (7分) 四、判断下列反常积分与级数的敛散性 (3×4分+6分=18分) +∞ x arctan
- 5 其中的和式是函数 2 1 1 ( ) x f x + = 在 [0,1] 上的一个积分和 (4 分) 所以原式= + 1 0 2 1 1 dx x = 0 4 1 arctan x = (7 分) 3、求 → x t x t x e dt e dt 0 2 2 0 2 2 ( ) lim 解： 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 0 2 lim ( ) lim x x x t x x t x t x e e dt e e dt e dt = → → (3 分) 0 2 2 lim 2 lim 2 2 2 2 0 = = = → → x x x x x t x xe e e e dt (7 分) 4、要制作一个有盖的圆柱形罐头，其体积为 V 不变， 问怎样选择其高与底面半径使得其表面积最小？ 解：设其高为 h 半径为 r 则有 = + = S r rh V r h 2 2 2 2 于是:S=2 r V r 2 2 + (2 分) 故有: 2 ' 2 ( ) 4 r V S r = r − 令 ( ) ' S r =0 得 3 2 V r = 为 S(r)的最小值点 (5 分) 此时求得 3 4 V h = ，且 1 2 = r h 。 故当 3 2 V r = ， 3 4 V h = 时其表面积最小。 (7 分) 四、判断下列反常积分与级数的敛散性： （3×4 分+6 分=18 分） 1、 + 1 + 3 1 arctan dx x x x
:lmny2 rarctan x丌 (2分) 2 此时p=2, 3,所以厂anxd收敛。(4分) ∑ 解::lim{(n;)"=lim (3分) n+1 n+2+1 2n+1)”收敛。 ∑( (4分) n(In n) 解:由积分判别法知∑ dx 具有相同的敛散性(2分) 3 n(In n)'p 又 当p>1时收敛,当p≤1时发散 In 故∑当p>1时收敛,当p≤1时发散 (4分) 4、∑(-1)"sn=(证明条件收敛) 解 lim= 由∑二发散知∑sn三也发散,(2分) 但,n≥2时,数列{sn2}单调递减,且; lim sin=0 (4分) 由莱布尼兹判别法知∑(-)"sn收敛,且条件收敛。 五、把f(x)=x在(0,2)内展开成余弦级数。(8分) 解:对f(x)作偶式周期延拓, ao=Lf(xdx= xdx=2
- 5 解： 1 2 arctan lim 3 2 = → + x x x x x (2 分) 此时 2, 2 p = = ，所以 + 1 + 3 1 arctan dx x x x 收敛。 (4 分) 2、 + n n n ) 2 1 ( 解： 1 2 1 2 1 ) 2 1 ( lim lim = + = → + → n n n n n n n n (3 分) + n n n ) 2 1 ( 收敛。 (4 分) 3、 =3 (ln ) 1 n p n n 解：由积分判别法 知 =3 (ln ) 1 n p n n 与 + 3 x ln x dx p 具有相同的敛散性 (2 分) 又 + 3 x ln x dx p + = ln3 p u du 当 p 1 时收敛，当 p 1 时发散 故 =3 (ln ) 1 n p n n 当 p 1 时收敛，当 p 1 时发散 （4 分） 4、 − n n 2 ( 1) sin （证明条件收敛） 解： 1 2 2 sin lim = → n n n 由 n 2 发散知 n 2 sin 也发散， (2 分) 但， n 2 时，数列 n 2 sin 单调递减，且 0 2 sin lim = n→ n (4 分) 由莱布尼兹判别法知 − n n 2 ( 1) sin 收敛，且条件收敛。 (6 分) 五、把 f x x ( ) = 在 (0,2) 内展开成余弦级数。（8 分） 解：对 f x( ) 作偶式周期延拓， 2 0 0 0 2 ( ) 2 l a f x dx xdx l = = =
f(x)cos"dx=[xcos"dx 5(cos nT-D) [(-1)”-1n=1,2,3 (5分) 所以f(x)=1+∑-32[(-1)-1l nTx n cOS 2k-1)2z 13 )(8分) 2n+1 六、求幂级数x+++…+—+…的和函数,并指出它们的定义域 2n+1 (8分) 解:因为幂级数回m=m2%m+1=12分) 且x=1时∑与∑,都是发散级 n=12n+ n=12H+1 所以此幂级数的收敛域为(-1,1)(4分) 设其和为f(x),于是当x∈(-,)时,逐项求导得: f(x)=1+x2+x2+…+x2+…= (6分) 所以f(x) dt=-In x≤1(8分 七、证明题:(6分+10分=16分) 1、设级数∑a收敛,则级数 (an>0)也收敛
- 5 2 0 0 2 ( )cos cos l n n x n x a f x dx x dx l l l = = = 2 2 2 2 4 4 (cos 1) [( 1) 1] 1,2,3 n n n n n − = − − = （5 分） 所以 2 2 1 4 ( ) 1 [( 1) 1]cos 2 n n n x f x n = = + − − 2 2 1 8 (2 1) 1 cos k (2 1) 2 k x k = − − = + − = 2 2 2 8 1 3 1 5 1 (cos cos cos ) 2 3 2 5 2 x x x = − + + + （8 分） 六、求幂级数 3 5 2 1 3 5 2 1 n x x x x n + + + + + + + 的和函数，并指出它们的定义域。 （8 分） 解：因为幂级数 lim lim 1 2 1 1 2 1 n n n n n a n + → → = = + (2 分) 且 x =1 时 1 1 n 2 1 n = + 与 1 1 n 2 1 n = − + 都是发散级数， 所以此幂级数的收敛域为 ( 1,1) − (4 分) 设其和为 f x( ) ，于是当 x −( 1,1) 时，逐项求导得： 2 4 2 2 1 ( ) 1 1 n f x x x x x = + + + + + = − (6 分) 所以 2 0 1 1 1 ( ) ln 1 1 2 1 x x f x dt x t x + = = − − (8 分) 七、证明题：（6 分+10 分=16 分）． 1、设级数 =1 2 n n a 收敛，则级数 n=1 n n a （ n a >0）也收敛
证明:由于≤(a2+2) (2分) n ,而已知∑a2与∑都收敛, n=I h 有∑(a2+-2)收敛 (4分) 由比较判别法知∑一也收敛 (6分) 2、设x)=22n2x∈2 证明:lims(x)=s(1),并求其值 nzx 证:设un(x)=22 n=1,2,3 它们都是[0,上的连续函数,且有 u, (x) )",x∈[O,-]。 显然∑()为收敛级数。 (4分) 故由优级数判别法知∑u1(x)为[,3上一致收敛。(6分) 从而该级数的和函数s(x)在[0,]上连续。 于是有lim(x)=s() (8分) 且S()=∑ (10分) k
- 5 证明：由于 ) 1 ( 2 1 2 2 n a n a n n + (2 分) ，而已知 =1 2 n n a 与 =1 2 1 n n 都收敛， 有 = + 1 2 2 ) 1 ( 2 1 n n n a 收敛。 (4 分) 由比较判别法知 n=1 n n a 也收敛。 (6 分) 2、设 3 ( ) sin , [0, ] 2 2 2 n n x n x s x x = 。 证明： 1 ( ) (1) lim x s x s → = ，并求其值。 证：设 ( ) sin , 1,2,3 2 2 n n n x n x u x n = = ， 它们都是 3 [0, ] 2 上的连续函数，且有 3 3 ( ) ( ) , [0, ] 2 4 2 n n n n x u x x 。 显然 3 ( ) 4 n 为收敛级数。 (4 分) 故由优级数判别法知 ( ) n u x 为 3 [0 ] 2 ， 上一致收敛。 (6 分) 从而该级数的和函数 s x( ) 在 3 [0 ] 2 ， 上连续。 于是有 1 ( ) (1) lim x s x s → = (8 分) 且 1 2 1 1 ( 1) (1) sin 2 2 2 n n n n s − − − = = 1 2 2 1 1 5 4 = = + (10 分)