第六章 线性间与线性变换 上页 下页
上页 下页 第六章 线性空间与线性变换
61线性空间的定义与性质 定义1设V是一个非空集合,R为实数域,如果对任 意两个元素a,B∈V,总有唯一的一个元素y∈V与 之对应,称为a,B的和,记作y=a+对于任 个数k∈R与任一个元素a∈V,总有唯一的一个元 素∈V与之对应,称为与a的积,记为S=ka; 两种运算满足以下八条运算规律 (对任意a,B,y∈v,k,∈R): (1)a+B=B+a 上页 (2)(a+B)+y=a+(B+y) 下页
上页 下页 6.1 线性空间的定义与性质 定义1 设V是一个非空集合，R为实数域，如果对任 意两个元素 ∈V ，总有唯一的一个元素 ∈V与 之对应，称为 的和，记作 ；对于任一 个数k∈R与任一个元素 ∈ V ，总有唯一的一个元 素 ∈V 与之对应，称为k与 的积，记为 ； = + , , = k 两种运算满足以下八条运算规律 （对任意 , , ∈ V , k, ∈R）： (1) + = + (2) ( + )+ = + ( + )
(3)在中有一个元素0(叫做零元素),使对任何 c∈V,都有a+0=a; (4)对任何a∈V,都有P中的元素B,使a+B=0 (B称为a的负元素); 5)la=a (6)k(a)=(kx)a (7)(k+x)a=ka+ (8)k(a+B)=ka+kB 就称为(实数域R上的)向量空间(或线性空间),中的元 素称为(实)向量(上面的实数域R也可为一般数域).上页 下页
上页 下页 V就称为(实数域R上的)向量空间(或线性空间),V中的元 素称为(实)向量(上面的实数域R也可为一般数域). (3) 在V中有一个元素0(叫做零元素)，使对任何 ∈V，都有 + 0 = ； (4) 对任何 ∈V，都有V中的元素 ，使 （ 称为 的负元素）； + = 0 (5) 1 = (6) k( ) = (k) (7) (k + ) = k + k (8) k( + ) = k + k
凡满足上面八条元素规律的加法及数量乘法称为线性 运算;凡定义了线性运算的集合称为向量空间(或线 性空间)。 注同量不一定是有序数组; 意·向量空间对加法与数量乘法(数乘)封闭 向量空间中的运算只要求满足八条运算规律,不 定是有序数组的加法及数乘运算。 例实数域R上次数不超过n的多项式的全体,记为 Pxln,即Pxln={anxm+…+a1x+ aola, an-js…apa0∈R} 对于通常的多项式加法、多项式数乘构成R上的向量 空间 上页 下页
上页 下页 凡满足上面八条元素规律的加法及数量乘法称为线性 运算；凡定义了线性运算的集合称为向量空间（或线 性空间）。 •向量不一定是有序数组； •向量空间V对加法与数量乘法（数乘）封闭； •向量空间中的运算只要求满足八条运算规律，不 一定是有序数组的加法及数乘运算。 注 意 ： 例 实数域R上次数不超过n的多项式的全体，记为 P[x]n，即P[x]n ={an x n+…+a1 x 0+a0 |an , an-1 ,…a1 , a0∈R} 对于通常的多项式加法、多项式数乘构成R上的向量 空间
例实数域R上次数n的多项式的全体,记为W,即 W={any+an}x1+…+ax+ aolan,a…,ap,a0∈R,且 an≠0}。W对于通常的多项式加法、多项式数乘不构成 R上的向量空间。因为0anxn+…+a1x+aD)=0gW,即 W对数乘不封闭。 例n个有序实数组成的数组的全体 S"={x=(x 12y…xn)xnx2…xn∈R} 对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘 k(xpyx2,…-xn)=(0,0,0 不构成R上的向量空间,因为1x=0,不满足运 算规律(5) 上页 下页
上页 下页 例 实数域R上次数n的多项式的全体，记为W，即 W={an x n+ an-1 x n-1 +…+a1 x+a0 |an , an-1 ,…a1 , a0∈R，且 an≠0}。W对于通常的多项式加法、多项式数乘不构成 R 上的向量空间。 因为0(an x n+…+a1 x 0+a0 )=0W，即 W对数乘不封闭。 例 n个有序实数组成的数组的全体 S n={x=(x1 ,x2 ,…xn )| x1 ,x2 ,…xn ∈R} 对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘 k•(x1 ,x2 ,…xn )=(0,0,…0) 不构成R上的向量空间，因为1x=0 ，不满足运 算规律（5）