第五章 特祈值与二次 上页 下页
上页 下页 第五章 特征值与二次型
5.1向量的内积 定义1设有m维向量 J yy∶y 称[x,y=x1y1+x2y2+…+xnyn.为x与y的内积 内积是向量的一种运算 用矩阵形式可表为x,y=x'p 上页 下页
上页 下页 5.1 向量的内积 [ , ] ' . , 用矩阵形式可表为x y = x y 内积是向量的一种运算 [ , ] . , 1 1 1 2 2 2 1 2 1 称 为 与 的内积 定 义 设 有 维向量 x y x y x y x y x y y y y y x x x x n n n n n = + + + = =
例计算x,y,其中x,y:如下: (1)x=(0,1,5,-2),y=(-2,0,-1,3); (2)x=(-2,1,0,3),y=(3,6,8,4), 解(1)[x,y=0(-2)+10+5(-1)+(-2)3=-11 (2)[x,y]=(-2)·3+1(-6)+08+3.4=0 若x,y,为n维实向量4为实数内积的性质为 ()[x,yl=[y,x] (ii) x,y=ax, yl (iii) x+y, =x, 3+ly, z 上页 下页
上页 下页 (2) ( 2,1,0,3), (3, 6,8,4), (1) (0,1,5, 2), ( 2,0, 1,3); [ , ], , : = − = − = − = − − x y x y 例 计 算 x y 其 中x y如 下 解(1) [x, y] = 0(−2)+10+ 5(−1)+(−2)3 = −11 (2) [x, y] = (−2) 3 +1(−6) + 08 + 34 = 0 ( ) [ , ] [ , ] [ , ]. ( ) [ , ] [ , ], ( ) [ , ] [ , ], , , , , iii x y z x z y z i i x y x y i x y y x x y z n + = + = = 若 为 维实向量 为实数内积的性质为：
定义2称k=xx=+x+“+x向量的 长度(或范数当x=1时,称为单位向量 基本性质: (i)非负性:当x≠0时,x>0,当x=0时r=0, (i)齐次性:2xl=1x (i)三角不等式:x+ysx+y (iy)cchy- Schwarz不等式x,y2≤|x1y 上页 下页
上页 下页 ( ) :[ , ] . ( ) : . ( ) : , ( ) : 0 , 0, 0 0, : 2 2 2 i v Cauchy Schwarz x y x y iii x y x y i i x x i x x x x − + + = = = 不等式 三角不等式 齐次性 非负性 当 时 当 时 基本性质 ( ), 1 , . 2 2 2 2 2 1 长 度 或范数 当 时 称 为单位向量 定 义 称 为向量 的 x x x x x x x xn x = = = + ++
由C-S不等式可得 Ix, yI 1(x|·y≠0) 于是定义当x≠0,|y1≠0时,称 6= arccos Ix, yI 为x与y的夹角 X·|y 当x,y]=0时,称x与y正交 n维零向量与任意维向量正交 称一组两两正交的非狗量组为正交向量组 上页 下页
上页 下页 . . [ , ] 0 , . 称一组两两正交的非零向量组为正交向量组 维零向量与任意 维向量正交 当 时 称 与 正 交 n n x y = x y . [ , ] arccos , 0, 0 , 1 ( 0). [ , ] 为 与 的夹角 于是定义当 时 称 由 不等式可得 x y x y x y x y x y x y x y C S = −