E)有界周期偶函数 (4)若f(x)为奇函数,则下列 款中的函数也是奇函数 (A)f(x)+a(a≠0,为常数) (B)ff(x)] (C)f(-x)+a(a≠0,为常数)(D)f(x)+f(-x) (5)设fx) x,xks1 2, xsi 12+x2,|xp/9(x) 0,|x卜1 则复合函数(x)由 款表示 2,|xk1 (A)nox)=12.|xp1 (B)f(x)]= ∫6,|x1 2,|x卜 002+x2,k!(on9=2+x, x卜 2-x2,|x卜1 (6)函数 的反函数是 (A)y= (B)y=log, x-log2 (1-x) (C)y= lo821-X (D)y=lg 补充题 1.(1)a=a对吗? (2)如果在|x|>b中去掉绝对值记号,应该怎样写? (3)试用|a+b,|a-b|表示Max{ab},Min{ab} 2.证明下列不等式 (1)n!>2n(n>3) (2)2n>n2(n≥5) (3)n3≤(n!)2(n≥3) (4)1.3…2n-1<-1 (5n!< (n>1)
·4· (E)有界周期偶函数 (4)若 f(x)为奇函数，则下列________款中的函数也是奇函数. (A)f(x)+ a ( a 0 ，为常数) (B)f[f(x)] (C))f(-x)+ a ( a 0 ，为常数) (D)f(x)+ f(-x) (5)设 f(x) 2 2 2 x , | x | 1 2 x , | x | 1 − + ， (x) = 2, | x | 1 0, | x | 1 ， 则复合函数 f[ (x)] 由_____________款表示. (A)f[ (x) ]= 2, | x | 1 2, | x | 1 − (B)f[ (x) ]= 6, | x | 1 2, | x | 1 (C)f[ (x) ]= 2 2 x , | x | 1 2, | x | 1 + (D)f[ (x) ]= 2 2 2 x , | x | 1 2 x , | x | 1 + − (6)函数 y= x x 2 2 1+ 的反函数是____________. (A) 2 2 log x y log (1 x) = − (B) y log x log (1 x) = − − 2 2 (C) 2 x y log 1 x = − (D) x y lg 1 x = − 补充题 1．(1) n n a | a | = 对吗？ (2)如果在 | x | >b 中去掉绝对值记号，应该怎样写？ (3)试用 | a + b |，| a-b | 表示 Max{a, b}，Min{a, b}. 2．证明下列不等式： (1)n!>2n (n>3) (2)2 n>n2 (n 5 ) (3)nn (n!)2 (n 3 ) (4) 1 3 2n 1 1 2 4 2n 2n 1 − + (5)n!< n n 1 2 + (n>1)
(6)若x>-1,则(1+x)2(1+nx)(n∈N)(这个不等式称为 Bernoulli不等式) (7)设a1>0(i=1,2,…,n且a1·a2…an=1,则a1+a2+…+an≥n (8)设a>0(i=1,2,…,n),则 n (9)x+x1+x2+…+xnPx|-(x1|+|x2|+…+|xn1) (10)设a,a2,…,an:;b1,b2,…,bn为两组实数,则 E)E)E时 3.解下列不等式 (1)2x+4|>10 (2)x(x-1)<0.1 (3)x-5|<|x+1l; (4)x+1|-|x-1k<l; 5川x+2|+|x-2|≤12 (6)x+2|-|x|>1 x+2 4.设fx)= artix,g(x)=tgx,求g(x)与gf(x 5.设f(x)= j0,x≤0 X,x>0’8(X)= R f[g(x)]; g[f(x); ff(x)]; glg(x)I n(1+x),0≤x<2 6.设f(x)={2 2≤x≤4,求f1),f(2),f(丌),f(4.5) 4<x≤6 7.验证: Max(f(x),g(x)==If(x)+g(x)+If(x) -g(x) Min f(x),g(x)=5[f(x)+g(x)-f(x)-g(x)I 8.设fx),g(x)在(a,b)上单增,求证:
·5· (6)若 x>-1，则(1 + x)n (1 + nx)(n N ) (这个不等式称为 Bernoulli 不等式) (7)设 i a 0 (i=1, 2, , n)且 1 2 a a an=1，则 a1 + a2 + … + an n. (8)设 ai>0(i=1, 2, …, n)，则 n 1 2 n 1 2 n a a a a a a n + ， n 1 2 n 1 2 n n a a a 1 1 1 a a a + + + . (9) 1 2 n 1 2 n | x x x x | | x | (| x | | x | | x | + + + + − + + + ) (10)设 a1, a2, …, an； b1, b2, …, bn 为两组实数，则 2 n n n 2 2 i i i i i 1 i 1 i 1 a b a b = = = 3．解下列不等式 (1)| 2x + 4 | >10； (2)| x(x-1)| <0.1； (3)| x-5 | < | x + 1 | ； (4)| x + 1 | - | x-1|<1； (5)| x + 2 | + | x-2 | 12 ; (6)| x + 2 | - | x | >1； (7) 2< 1 | x 2 | + <3. 4．设 f(x)= arctgx ，g(x)=tgx，求 f[g(x) 与 g[f (x)] . 5．设 0, x 0 f (x) x, x 0 = ， 2 0, x 0 g(x) x , x 0 = − ，求 f [g(x)]; g[f(x)]; f[f(x)]; g[g(x)]. 6．设 x ln(1 x), 0 x 2 f (x) 2 , 2 x 4 6 x, 4 x 6 + = − ，求 f(1), f(2), f( ), f(4.5). 7．验证： 1 Max{f (x), g(x)} [f (x) g(x) | f (x) g(x) |] 2 = + + − Min [f(x) g(x) |f(x) g(x)|] 2 1 {f(x), g(x)}= + − − 8．设 f(x), g(x)在(a, b)上单增，求证：
(1)Max(f(x), g(x)) (2)min(f(x),g(x)3 也在(ab)上单增 .设fx)在(0,+∞)上有定义,x1>0,x2>0,求证 f(x)单增,则fx+x2)2f(x)+fx) 10.一半径为a的圆铁片,自中心剪去一角形,将剩余部分(中心角为0)围成一个 无底圆锥,试建立圆锥容积V与中心角θ之间的函数关系 1.证明:函数fx=a(a>0,a≠1),对一切实数x1≠x2恒有 )<[f(x1)+f(x2) 2 12.设f(x)= ae + be-x a+b(a≠-b),证明: f(2x)-f(-2x)=f2(x)-f2(-x) 13.设f(x=lg 试证 1+1 f(y)+f(z)=f( 14.设f(x)= 解方程f(-)=f(=) 15.()设(x+)=x2+,求fx (2)设f(sin)=1+cx,求fos) 16.设f(x)为(-∞,+∞)上的奇函数,f(1)=a,且对任意x值均有:fx+2)-1(x)=f(2) (1)试用a表示f(2)与5); (2)问a取什么值时,x)是以2为周期的周期函数 17.研究下列函数有界性 (1)x)1+x: (2)f(x)=x2分别在(a,b)及(-∞,+∞)上;
·6· (1)Max{f(x), g(x)} (2)min{f(x), g(x)} 也在(a, b)上单增. 9．设 f(x)在 (0, ) + 上有定义，x1>0, x2>0，求证： 若 f (x) x 单增，则 f(x1+x2) f(x1)+f(x2). 10．一半径为 a 的圆铁片，自中心剪去一角形，将剩余部分(中心角为 )围成一个 无底圆锥，试建立圆锥容积 V 与中心角 之间的函数关系. 11．证明：函数 f(x)=ax (a>0, a 1)，对一切实数 x1 x2 恒有 1 2 1 2 x x 1 f ( ) [f (x ) f (x )] 2 2 + + . 12．设 x x ae be f (x) a b − + = + (a −b )，证明： f(2x)-f(-2x)=f2 (x)-f 2 (-x). 13．设 f(x)= 1 x lg 1 x − + ，试证： y z f (y) f (z) f ( ) 1 yz + + = + . 14．设 f(x)= x 3 2x 1 + − ，解方程 1 2 f ( ) f ( ) x 1 3 = − . 15．(1)设 f(x+ 1 x )= 2 2 1 x x + ，求 f(x). (2)设 x f (sin ) 1 cosx 2 = + ，求 f(cos x 2 ). 16．设 f(x)为(-∞, +∞)上的奇函数，f(1)=a，且对任意 x 值均有：f(x+2)-f(x)=f(2) (1)试用 a 表示 f(2)与 f(5)； (2)问 a 取什么值时，f(x)是以 2 为周期的周期函数？ 17．研究下列函数有界性 (1)f(x)= 2 x 1 x + ； (2)f(x)=x2 分别在(a, b)及(-∞, +∞)上；
(3)f(x)= X+2 f(x)= +X+1 18.在物理及工程技术中还用到“双曲函数”,它们的定义为 双曲正弦shx= 2 双曲余弦chx=e+e-x 双曲正切 shx e chx e te 双曲余切 thx≈ chx e+e-x 试证 (2)sh(x+y)=shxchy +chxshy h2x=2shxchx th2x (5)shx=h(x+2+1)(-∞
·7· (3)f(x)= x 1 x 2 + + ； (4)f(x)= 2 1 x x 1 + + . 18．在物理及工程技术中还用到“双曲函数”，它们的定义为： 双曲正弦 x x e e shx 2 − − = 双曲余弦 x x e e chx 2 − + = 双曲正切 x x x x shx e e thx chx e e − − − = = + 双曲余切 x x x x chx e e cthx shx e e − − + = = − 试证： (1) 2 2 ch x sh x 1 − = (2) sh(x y) shxchy chxshy + = + (3) 2 2 ch2x ch x sh x = + ， sh2x 2shxchx = (4) 2 2 1 1 th x ch x = − (5) 1 2 sh x ln(x x 1) − = + + (-∞<x<+∞) 1 2 ch x ln(x x 1) − = + − ( x 1)
第二章数列极限 思考题: 1.下列说法能否表明a是数列{an}的极限(与iman=a的定义是否等价?) (1)对vE>0,玉N,当n>N时,有an-a<E (2)对vc>0,存在无限多项an,使|an-al|<E 3)对v>0,N,当n≥N时,有an-al<E (4)对ve>0,N,当nN时,有an-l|<E (5)对vE>0,玉N,当n>N时,有an-a|<ke,(其中k是与E,n无关的常数) (6)对vE>0,N,当nN时,有an-a<Ne (7)对ve>0,彐A∈R,当nA时,有an-l<s (8)N,对vE>0,当nN时,有an-a|<E (9)对vE∈(a,+)(a>0),N,当nN时,有an-a|<E (10)对vE:0<E<1,N,当mN时,有|an-a<E (11)对无限个E>0,N,当nN时,有阳an-a<E (12)对vm∈N,N,当nN时,有阳an-al|< (13)设ek→0(k→∞),εk>0,对每个,N,当n>Nk时有an-a<Ek 2.有人说, lim x=a定义与“对v(a,B)(a∈(a,B),彐N,当nN时,有xn∈(a,B)” 等价,对吗? 3.一个数列去掉或添加或改变有限项是否会改变它的收敛性与它的极限值? 4.证明:设a,b为两个定数 (1)若对vc>0都有a≤b+E,则a≤b (2)若对ve>0都有|a-bkE,则a=b 5.若{a}收敛,{bn}发散,则{a±bhn}、{anbn}收敛性如何?举例说明 6.{an}与{bn}均发散,则{an±bn}、{anbn}是否发散?举例说明
·8· 第二章 数列极限 思考题： 1．下列说法能否表明 a 是数列 an 的极限(与 n n lim a a → = 的定义是否等价？) (1)对 0， N ，当 n N 时，有 n a a − . (2)对 0 ，存在无限多项 n a ，使 n a a − . 3)对 0， N ，当 n≥N 时，有 n a a − . (4)对 0， N ，当 n>N 时，有 100 n a a − . (5)对 0， N ，当 n>N 时，有 n a a k − ，(其中 k 是与 ，n 无关的常数). (6)对 0， N ，当 n>N 时，有 n a a N − . (7)对 0， A R ，当 n>A 时，有 n a a − . (8) N ，对 0 ，当 n>N 时，有 n a a − . (9)对 + (a, ) (a>0)，N ，当 n>N 时，有 n a a − . (10)对 ： 0 1 ，N ，当 n>N 时，有 n a a − . (11)对无限个 0，N ，当 n>N 时，有 n a a − . (12)对 m N ，N ，当 n>N 时，有 n 1 a a m − . (13)设 →k 0 (k →)， k 0 ，对每个 k ，Nk ，当 n N k 时有 n a a − k. 2．有人说， n n lim x a → = 定义与“对 ( , ) (a ( , ) )， N，当 n>N 时，有 x ( , ) n ” 等价，对吗？ 3．一个数列去掉或添加或改变有限项是否会改变它的收敛性与它的极限值？ 4．证明：设 a, b 为两个定数， (1)若对 0 都有 a b + ，则 a b ； (2)若对 0 都有 | a b | − ，则 a=b. 5．若{an}收敛，{bn}发散，则{an±bn}、{anbn}收敛性如何？举例说明. 6．{an}与{bn}均发散，则{an±bn}、{anbn}是否发散？举例说明