§12拓广平面上的齐次坐标 2.二维齐次点坐标 通常点 引入VP∈兀,可视为P=l×12(1≠1)P为无穷远点12 A B 设l:A1x+By+C=0(=1,2).记MB表示A2,B (1)P为通常点,12设P(x,y)则 BC CA y AB≠0 AB L AB I 令BC=x1,CA=x2,MB=x3则x=21,y=32,x3≠0 从而x:y:1=x1:x2:x3,于是,可以把与(x,y,1)成比例的任何 有序实数组作为点P的齐次坐标
引入 P , 可视为 ( ). 1 2 1 2 P l l l l P为 通常点 无穷远点 // . 1 2 l l // . 1 2 l l 设 li: Ai x+Bi y+Ci =0 (i=1, 2). 记 |AB| 表示 1 1 2 2 , ... A B A B (1). P为通常点， // . 1 2 l l 设 P(x, y). 则 , | | | | AB BC x , | | | | AB CA y | AB | 0. 令|BC|=x1 , |CA|=x2 , |AB|=x3 . 则 , , 0. 3 3 2 3 1 x x x y x x x 从而 x : y : 1=x1 : x2 : x3 . 于是, 可以把与(x, y, 1)成比例的任何 有序实数组作为点P的齐次坐标. 2. 二维齐次点坐标
§12拓广平面上的齐次坐标 2.二维齐次点坐标 引入(2)P=P21W2,即P为1,l2方向上的无穷远点 目标:构造P的齐次坐标,使之仅与1,的方向斜率)有关 因1/l2.故前述x3=0考虑取(x1,x2,0)为P的齐次坐标只要证 明x12x2仅与的方向(斜率)有关 2 ∵l1≠ 25 +x2≠0 当4不平行于y轴时,即x1≠0.不难证明 B 其中λ为的斜率,即(x1,x2,0)表示方向为的无穷远点特别地,若 x2=0,则表示x轴上的无穷远点 当平行于y轴时,A=∞.可合理地取(0,x2,0)(x20)为y轴上无 穷远点的齐次坐标 引出定义
引入 (2). P=P∞, l1 // l2 . 即P∞为l1 , l2方向上的无穷远点. 目标： 构造P∞的齐次坐标，使之仅与l1 , l2的方向(斜率)有关. 因l1 // l2 . 故前述x3=0.考虑取(x1 , x2 , 0)为P∞的齐次坐标. 只要证 明x1 , x2仅与li的方向(斜率)有关. 2 2 1 2 1 2 l l , x x 0. 当li不平行于y轴时，即x1≠0. 不难证明 . 2 2 1 1 1 2 B A B A x x 其中λ为li的斜率, 即(x1 , x2 , 0)表示方向为λ的无穷远点. 特别地, 若 x2=0, 则表示x轴上的无穷远点. 当li平行于y轴时， λ=∞. 可合理地取(0, x2 , 0) (x2≠0)为y轴上无 穷远点的齐次坐标. 引出定义 2. 二维齐次点坐标
§12拓广平面上的齐次坐标 2.二维齐次点坐标 定义15 非齐次 关系 齐次坐标 有穷远点 (x,y)|x=x1/x3,y=x2/x3(x1,x2x3)(x30) 方向为 (x12x2,O)(x1#0) 无=x21的 穷无穷远点 (=x2/x1) 点y轴上的 无穷远点 (0,x2,0)(x2≠0) 注对二维齐次点坐标定义的进一步理解
定义1.5 有穷远点 方向为 λ =x2 /x1的 无穷远点 非齐次 关系 齐次坐标 注 对二维齐次点坐标定义的进一步理解 y轴上的 无穷远点 2. 二维齐次点坐标 (x, y) x = x1 / x3 , y = x2 / x3 (x1 , x2 , x3) (x3≠0) (x1 , x2 , 0) (x1≠0) (λ=x2 /x1) (0, x2 , 0) (x2≠0) 无 穷 远 点
§12拓广平面上的齐次坐标 2.二维齐次点坐标 (1)对任意的P∈兀,都有齐次坐标(x1,x2x3)对于通常点x3≠0;对 于无穷远点x3=0,但x12+x240.反之,任给(x12x2x3)(x12+x2+x320) 都对应惟一一点P∈x.(0,0,0)不是任何点的齐次坐标 (2).对任意的0∈R,(x12x2,x3)与(mx1,px2,px3)是同一点的齐次坐 标.因此,平面上每个点都有无穷多组齐次坐标,同一点的任意两 个齐次坐标之间相差一个非零比例常数 3)原点:(0,0,x3),特别地(0,0,1)无穷远点(x1,x2,0),若x1≠0,则 可表为(1,λ,0),其中为该无穷远点的方向特别地,x轴上的无穷 远点为(1,0,0),y轴上的无穷远点为(0,1,0) (4).平面上点的齐次坐标的集合为(3维实向量类的集合): ({(x1,x2x3)|x∈R}{(0,0,0))/~=(R3N0})/~=RP2 此即拓广平面的线丛模型
(1). 对任意的P∈π, 都有齐次坐标(x1 , x2 , x3). 对于通常点x3≠0；对 于无穷远点x3=0, 但x1 2+x2 2≠0. 反之, 任给(x1 , x2 , x3) (x1 2+x2 2+x3 2≠0), 都对应惟一一点P∈π. (0, 0, 0)不是任何点的齐次坐标. (2). 对任意的0≠ρ∈R, (x1 , x2 , x3)与(ρx1 , ρx2 , ρx3)是同一点的齐次坐 标. 因此, 平面上每个点都有无穷多组齐次坐标, 同一点的任意两 个齐次坐标之间相差一个非零比例常数. (3). 原点：(0, 0, x3), 特别地(0, 0, 1); 无穷远点(x1 , x2 , 0), 若x1≠0, 则 可表为(1, λ, 0), 其中λ为该无穷远点的方向. 特别地, x轴上的无穷 远点为(1, 0, 0), y轴上的无穷远点为(0, 1, 0). (4). 平面上点的齐次坐标的集合为(3维实向量类的集合) ： 3 2 ({(x1 , x2 , x3 ) | xi R}\{(0,0,0)})/ ~ (R \{0})/ ~ RP 此即拓广平面的线丛模型. 2. 二维齐次点坐标
§12拓广平面上的齐次坐标 、二维齐次点坐标 例1求下列各点的齐次坐标 齐次坐标(一般形式) 特定一组 P(0.0) P(0,0,x3),(x3≠0) P(00,1) P2(1,0) P2(P,0,p)2(P≠0) P2(1,0,1) 3(0,1) B(0,P,p),(P≠0) P3(0,1,1) P4(2 5 1(2,=P2P),(p≠0 P4(6,53) (2).求直线3x-4y+1=0上的无穷远点 斜率k=3/4>代入(1,k0)>所求无穷远点为(1,0) 4 也就是(430).→Ax+By+C=0上的无穷远点为(B,-A0
二、二维齐次点坐标 例 1 求下列各点的齐次坐标. (1). (0,0) P1 (1,0) P2 (0,1) P3 ) 3 5 (2, P4 齐次坐标(一般形式) (0,0, ),( 0) P1 x3 x3 ( ,0, ),( 0) P2 特定一组 (0,0,1) P1 (0, , ),( 0) P3 (1,0,1) P2 (0,1,1) P3 , ),( 0) 3 5 (2 , P4 (6,5,3) P4 (2). 求直线 3x 4y 1 0 上的无穷远点. 斜率 k 3/ 4 代入 (1, k,0) 所求无穷远点为 ,0), 4 3 (1, 也就是(4,3,0). Ax By C 0 上的无穷远点为(B,A,0)