§1.1拓广平面 五、射影基本形 3、一对重要的基本图形 三点形(不共线三点及 三线形(不共点三直线 其两两连线构成的图形) 及其两两交点构成的图形) C a cxa 顶点:A,B,C 边:a,b,C 边:BC,CA,AB 顶点:b×c,c×a,a×b 记法:三点形ABC 记法:三线形abc 显然,射影基本形、三点形和三线形都在中心射影下不变
五、射影基本形 3、一对重要的基本图形 三点形(不共线三点及 其两两连线构成的图形) 顶点：A, B, C 边：BC, CA, AB 显然，射影基本形、三点形和三线形都在中心射影下不变 三线形(不共点三直线 及其两两交点构成的图形) 边：a, b, c 顶点：b×c, c×a, a×b 记法：三点形ABC 记法：三线形abc
§12拓广平面上的齐次坐标 引入目的 为了用代数的方法(解析法)研究射影几何 基本要求 既能刻画有穷远点,也能刻画无穷远点 基本途径 从笛氏坐标出发,对通常点与笛氏坐标不矛盾 主要困难 来自传统笛氏坐标的干扰 齐次坐标与笛氏坐标的根本区别在于齐次性, 必须注意 因此,学习诀窍是在齐次性的前提下灵活运用 线性代数知识 尽管针对拓广平面,但是今后通用 齐次性问题几乎无处不在的非零比例常数和比例关系
引入目的 为了用代数的方法(解析法)研究射影几何 基本要求 既能刻画有穷远点，也能刻画无穷远点 基本途径 从笛氏坐标出发，对通常点与笛氏坐标不矛盾 主要困难 来自传统笛氏坐标的干扰 必须注意 齐次坐标与笛氏坐标的根本区别在于齐次性， 因此，学习诀窍是在齐次性的前提下灵活运用 线性代数知识. 尽管针对拓广平面, 但是今后通用 齐次性问题 几乎无处不在的非零比例常数和比例关系
§12拓广平面上的齐次坐标 、n维实向量类 n维实向量的集合R"=(x1,x2…x)x∈R 定义等价关系~ x~y分30≠p∈R,使得x=p n维实向量类的集合 (用圆括号记向量)RPn1=(R"10)/~(n≥2) x=(x1x2…xn) n维实向量类的集合 (用方括号记向量)(RP")=(R”{0)/~(mn≥2) X=.x 事实上,关于齐次坐标的运算就是上述两个集合中向量类的运算
一、n 维实向量类 {( , , , ) | } R x1 x2 xn xi R n n 维实向量的集合 定义等价关系 ~ x ~ y 0 R,使得x y. n 维实向量类的集合 (用圆括号记向量) x=(x1 ,x2 ,···,xn) ( \{0})/ ~ ( 2) 1 RP R n n n n 维实向量类的集合 (用方括号记向量) x=[x1 ,x2 ,···,xn] ( ) ( \{0})/ ~ ( 2) 1 * RP R n n n 事实上, 关于齐次坐标的运算就是上述两个集合中向量类的运算
§12拓广平面上的齐次坐标 二、齐次点坐标 维齐次点坐标 定义1.4 非齐次关系 齐次坐标 有穷远点x xx1/x2 (x12x2)(x2=0) 无穷远点 (x12O)(x1≠0) 注对一维齐次点坐标定义的进一步理解
二、齐次点坐标 定义1.4 有穷远点 无穷远点 非齐次 关系 齐次坐标 注 对一维齐次点坐标定义的进一步理解 1. 一维齐次点坐标 (x1 , x2 x x= x ) (x2≠0) 1 / x2 (x1 , 0) (x1≠0)
§12拓广平面上的齐次坐标 齐次点坐标 1.一维齐次点坐标 1)VP∈l,都有齐次坐标(x1x2),反之,(x2x2)x2+x2≠0) 都对应唯一一点P∈.(0,0)不是任何点的齐次坐标 (2).V0≠p∈R,(x1,x2)与(mx1,px2)是同一点的齐次坐标因此, 直线上每个点都有无穷多组的齐次坐标,同一点的任意两个齐次 坐标之间相差一个非零比例常数 (3)原点:(0,x2)特别地,(0,1 无穷远点:(x1,O),特别地,(1,0) (4).齐次坐标的集合为(2维实向量类的集合) ({(x12x2)|x1∈R}{(0,0)})/~=RP=(R21{0})/ 此即拓广直线的线束模型
(1). Pl, 都有齐次坐标( , ); 1 2 x x 反之， 2 2 1 2 1 2 (x , x )(x x 0) 都对应唯一一点 Pl. (0, 0)不是任何点的齐次坐标. (2). 0 R, ( , ) 1 2 x x 与( , ) 1 2 x x 是同一点的齐次坐标. 因此， 直线上每个点都有无穷多组的齐次坐标，同一点的任意两个齐次 坐标之间相差一个非零比例常数. (3). 原点：(0, x2), 特别地，(0, 1). 无穷远点：(x1 , 0), 特别地，(1, 0). (4). 齐次坐标的集合为(2维实向量类的集合)： ({( , ) | }\{(0,0)})/ ~ ( \{0})/ ~ 1 2 x1 x2 xi R RP R 此即拓广直线的线束模型. 二、齐次点坐标 1. 一维齐次点坐标