§12拓广平面上的齐次坐标 上次课:、n维实向量类RPmH(RP 齐次点坐标 n维实向量空间的商空间 归纳 齐次点坐标=双射@:拓广平面上的点坐标映射 维齐次点坐标g:点列(P)→RP拓广直线的线束模型 MP∈l(P)9:Px,x=(x1x2)∈RP 二维齐次点坐标:点场z→RP2拓广平面的线丛模型 VP∈丌,:P→x,x=(x2x2,x3)∈RP
上次课： 一、n 维实向量类 二、齐次点坐标 RPn-1 (RPn-1) * 一维齐次点坐标 1 :点列l(P) RP 二维齐次点坐标 n维实向量空间的商空间 归纳 齐次点坐标 = 双射φ：拓广平面上的点坐标映射 2 :点场 RP , : , ( , , ) . 2 P P x x x1 x2 x3 RP 1 1 2 Pl(P), : P x, x (x , x ) RP . 拓广直线的线束模型 拓广平面的线丛模型
§12拓广平面上的齐次坐标 三、直线的齐次坐标方程 定理12在齐次坐标下,直线的方程为 ∑ L.x.=0 反之,(1.1)表示直线称(1.1)为直线的齐次方程 注1 定理1.2的证明中,从(2)到(3)的“即”,由x30到可以 x3=0,已经将通常直线拓 注2 定理1,2:通常直线的齐次、非齐次方程互化 推论11过原点的直线的齐次方程为a1x1+2x2=0 特别地,x轴:x2=0,y轴:x1=0,lm:x3=0
三、直线的齐次坐标方程 定理 1.2 在齐次坐标下，直线的方程为 0. 3 1 i i i u x (1.1) 反之，(1.1)表示直线. 称(1.1)为直线的齐次方程. 注2 定理1.2：通常直线的齐次、非齐次方程互化. 推论 1.1 过原点的直线的齐次方程为u1x1+u2x2=0. 特别地, x轴: x2=0, y轴: x1=0, l∞: x3=0. 注1 定理1.2的证明中, 从(2)到(3)的“即” , 由x3≠0到可以 x3=0, 已经将通常直线拓广
§12拓广平面上的齐次坐标 四、齐次线坐标 改变一下你的几何学观点 直线 曲线 点几何学坐标 方程 点的轨迹 线几何学方程 坐标 直线族的包络 线几何学:以直线为基本几何元素去表达其他几何对象 调整你的思维天平! 直线
改变一下你的几何学观点 点 直线 曲线 点几何学 坐标 方程 点的轨迹 线几何学 方程 坐标 直线族的包络 四、齐次线坐标 线几何学：以直线为基本几何元素去表达其他几何对象 调整你的思维天平！
§12拓广平面上的齐次坐标 四、齐次线坐标 1定义将直线1∑x=0中的系数称为的齐次线坐标,记作 注1齐次线坐标是一个双射v称为拓广平面上的线坐标映射 U:线场z→(RP) Vl∈丌,w:1b>l,l=l12l2,2]e(RP) 注2齐次线坐标与齐次点坐标有完全相同的代数结构和性质 y轴:x1=0<>[00 思考:注3中这些直线的 注3x轴:x2=04[010]齐次坐标分别与哪些点的齐次 1n:x2=0<[001坐标相同(忽略括号差别) 过原点的直线:1x1+2x2=0<>[1,2,0 注4由定义方程←系数→坐标实现互化,故v由诱导
四、齐次线坐标 1. 定义 将直线l： 3 1 0 i i i u x 中的系数称为l的齐次线坐标，记作 [ , , ]. u1 u2 u3 注2 齐次线坐标与齐次点坐标有完全相同的代数结构和性质. 注3 y轴： 0 [1,0,0]. x1 x轴： 0 [0,1,0]. x2 0 [0,0,1]. l : x3 过原点的直线： 0 [ , ,0]. 1 1 2 2 u1 u2 u x u x 思考：注3中这些直线的 齐次坐标分别与哪些点的齐次 坐标相同(忽略括号差别)？ 注4 由定义, 方程 系数 坐标 实现互化, 故ψ由φ诱导. 注1 齐次线坐标是一个双射ψ, 称为拓广平面上的线坐标映射 2 * :线场 (RP ) , : , [ , , ] ( ) . 2 * l l u u u1 u2 u3 RP
§12拓广平面上的齐次坐标 2.点的齐次方程 定理1.3在齐次线坐标下,点x在直线u上分 11x1= 0 (1.2) 定义1.7在齐次线坐标下,若方程f1,l2l3)=0能且仅能被过 点P的直线的齐次坐标所满足,则称f=0为点P的齐次方程 定理14在齐次线坐标下,一点a=(a1a2a3)的齐次方程为 a1l41+a2l2+a2l2=0 反之,关于流动线坐标的一次齐次方程表示点
0 (1.2) 3 1 i i i u x 定理1.3 在齐次线坐标下，点x在直线u上 2. 点的齐次方程 定义1.7 在齐次线坐标下，若方程 f(u1 ,u2 ,u3)=0 能且仅能被过 点P的直线的齐次坐标所满足，则称 f=0 为点 P 的齐次方程. 定理1.4 在齐次线坐标下，一点 a=(a1 ,a2 ,a3) 的齐次方程为 0. (1.3) a1u1 a2u2 a3u3 反之，关于流动线坐标的一次齐次方程表示点