§12拓广平面上的齐次坐标 归纳点的齐次坐标是一个双射o,即拓广平面上的点坐标映射 q:点场丌→RP2 VP∈x,9:PH>x x=(x12x2x,)∈RP2 、直线的齐次坐标方程 定理12在齐次坐标下,直线的方程为 ∑ux=0 反之,(1.1)表示直线称(1.1)为直线的齐次方程 推论11过原点的直线的齐次方程为 ux, tux=o 注:定理12不仅给出了拓广平面上直线的齐次方程,还对通 常直线提供了齐次、非齐次方程互化的方法.见教材Pl
三、直线的齐次坐标方程 定理 1.2 在齐次坐标下，直线的方程为 0. 3 1 i i i u x (1.1) 反之，(1.1)表示直线. 称(1.1)为直线的齐次方程. 推论 1.1 过原点的直线的齐次方程为 0. u1x1 u2 x2 注： 定理1.2不仅给出了拓广平面上直线的齐次方程，还对通 常直线提供了齐次、非齐次方程互化的方法. 见教材P.11. 归纳 点的齐次坐标是一个双射φ, 即拓广平面上的点坐标映射 2 :点场 RP , : , ( , , ) . 2 P P x x x1 x2 x3 RP
§12拓广平面上的齐次坐标 四、齐次线坐标 改变一下你的几何学观点 点 直线 曲线 点几何学坐标 方程 点的轨迹 线几何学方程 坐标 直线族的包络 为了学习线几何学,引进线坐标概念 主要困难来自根深蒂固的点几何学传统观念的干扰
改变一下你的几何学观点 点 直线 曲线 点几何学 坐标 方程 点的轨迹 线几何学 方程 坐标 直线族的包络 为了学习线几何学，引进线坐标概念 主要困难 来自根深蒂固的点几何学传统观念的干扰. 四、齐次线坐标
§12拓广平面上的齐次坐标 四、齐次线坐标 1定义将直线1∑x=0中的系数称为的齐次线坐标,记作 注1直线的齐次坐标为一双射v,称为拓广平面上的线坐标映射 U:线场z→(RP) ∈丌, y: lH =[v1,l2,2∈(RP) 注2齐次线坐标与齐次点坐标有完全相同的代数结构和性质 y轴:x1=0<>[00 思考:注3中这些直线的 注3x轴:x2=04[010]齐次坐标分别与哪些点的齐次 1n:x2=0<[001坐标相同(忽略括号差别) 过原点的直线:1x1+2x2=0<>[1,2,0 注4由定义,方程系数→坐标实现互化,故v可由诱导
四、齐次线坐标 1. 定义 将直线l： 3 1 0 i i i u x 中的系数称为l的齐次线坐标，记作 [ , , ]. u1 u2 u3 注2 齐次线坐标与齐次点坐标有完全相同的代数结构和性质. 注3 y轴： 0 [1,0,0]. x1 x轴： 0 [0,1,0]. x2 0 [0,0,1]. l : x3 过原点的直线： 0 [ , ,0]. 1 1 2 2 u1 u2 u x u x 思考：注3中这些直线的 齐次坐标分别与哪些点的齐次 坐标相同(忽略括号差别)？ 注4 由定义, 方程 系数 坐标 实现互化, 故ψ可由φ诱导. 注1 直线的齐次坐标为一双射ψ, 称为拓广平面上的线坐标映射 2 * :线场 (RP ) , : , [ , , ] ( ) . 2 * l l u u u1 u2 u3 RP
§12拓广平面上的齐次坐标 2.点的齐次方程 定理1.3在齐次线坐标下,点x在直线u上分 11x1= 0 (1.2) 定义1.7在齐次线坐标下,若方程f1,l2l3)=0能且仅能被过 点P的直线的齐次坐标所满足,则称f=0为点P的齐次方程 定理14在齐次线坐标下,一点a=(a1a2a3)的齐次方程为 a1l41+a2l2+a2l2=0 反之,关于流动线坐标的一次齐次方程表示点
0 (1.2) 3 1 i i i u x 定理1.3 在齐次线坐标下，点x在直线u上 2. 点的齐次方程 定义1.7 在齐次线坐标下，若方程 f(u1 ,u2 ,u3)=0 能且仅能被过 点P的直线的齐次坐标所满足，则称 f=0 为点 P 的齐次方程. 定理1.4 在齐次线坐标下，一点 a=(a1 ,a2 ,a3) 的齐次方程为 0. (1.3) a1u1 a2u2 a3u3 反之，关于流动线坐标的一次齐次方程表示点
§12拓广平面上的齐次坐标 四、齐次线坐标2.点的齐次方程 给定齐次方程 ∑x12=0 注对(14)的新理解 X (1.4) 几何意义 点几何变不变直线v的动点x在定直线u上 观点(流动)|(常数)方程定直线u为动点x的轨迹 线几何不变 变 点x的动直线过定点x 观点(常数)(流动)方程定点x为动直线v的包络 因此,一般地,称(1.4)为点与直线的齐次关联关系.点、直 线统称为几何元素
四、齐次线坐标 2. 点的齐次方程 注 对(1.4)的新理解. x u (1.4) 变 (流动) 不变 (常数) 直线u的 方程 几何意义 动点x在定直线u上 定直线u为动点x的轨迹 点几何 观点 线几何 观点 不变 (常数) 变 (流动) 点x的 方程 动直线u过定点x 定点x为动直线u的包络 因此，一般地，称(1.4)为点与直线的齐次关联关系. 点、直 线统称为几何元素. 给定齐次方程 0 (1.4) 3 1 i iui x