例2对于均值4，方差σ2>0都存在的总体，若 4,。2均为未知，则。的估计量62=之X,-X i-1 是有偏的（即不是无偏估计） 证62=1∑x-2=4-X2, 因为E(A2)=4=o2+42, 又因为EX)=DX)+IEX=g+, 所以E(62)=E(A,-X2)=E(A)-E(X2)
( ). ( ) 1 , , ˆ , 0 , 1 2 2 2 2 2 是有偏的 即不是无偏估计 均为未知 则 的估计量 对于均值 方差 都存在的总体 若 = = − ni Xi X n 证 = = − ni Xi X n 1 2 1 2 2 ˆ , 2 = A 2 − X 2 2 因为 E(A ) = , 2 2 = + 2 2 又因为 E(X ) = D(X) +[E(X)] , 2 2 = + n ( ˆ ) ( ) 2 2 2 所以 E = E A − X ( ) ( ) 2 = E A2 − E X 例 2
1-1.2≠o2,所以62是有偏的. = n 若以” 乘62，所得到的估计量就是无偏的， n-1 (这种方法称为无偏化)， ”n2E69= 因为=s产2X-X n-1 即S2是σ2的无偏估计，故通常取S2作σ的估计量
, 1 2 2 − = n n ˆ . 所以 2 是有偏的 ˆ , . 1 若以 乘 2 所得到的估计量就是无偏的 n − n (这种方法称为无偏化). ( ˆ ) . 1 ˆ 1 2 2 2 = − = − E n n n n E 2 2 ˆ 1 S n n = − 因为 ( ), 1 1 1 2 = − − = n i Xi X n , 即 S 2是 2 的无偏估计 . 故通常取S 2作 2的估计量
例3设X1,X2,Xn是来自正态总体N(4,o2) 的样本，试求σ的无偏估计量 解由第六章第二节定理二知”S2~xn-), -r xn-1-1 2X2 dx 2r
. , , , ( , ) 2 2 1 2 的样本，试求 的无偏估计量 设 是来自正态总体 X X Xn N 解 ~ ( 1), 1 2 2 2 − − S n n 由第六章第二节定理二知 x x n x n S E x n n e d 2 1 2 1 1 0 1 2 1 2 2 1 + − − − − − = − x x n x n n e d 2 1 2 1 0 1 2 2 2 1 + − − − − = , 2 1 2 2 − = n n 例3