那么x-xtb,-a,?0.即x=x,惟一性得证推论设([an,b,l) 是一个区间套,xi [an,b,l,n =1,2,L .则任给口 >0,存在当nN时N.[an,b,li U(x;e).证由区间套定理的证明可得：lima, =limb, =x.nRYn?Y由极限的保号性，对于任意正数口，存在N,后页巡回前页
前页 后页 返回 证 由区间套定理的证明可得: 由极限的保号性, 对于任意正数 , 存在 N, 则任给 > 0, 存在 N, 当 n N 时, 推论 设 {[an ,bn ]} 是一个区间套
当n3 N时,有x-e<a,,b,<x+e.即x-e<ab<x+e,这就是说[a, b,li (x- e, x +e).注1该推论有着很强的应用价值，请大家务必牢记注2区间套定理中的闭区间若改为开区间，那么结1显然论不一定成立.例如对于开区间列弟'n巡回前页后页
前页 后页 返回 注1 该推论有着很强的应用价值,请大家务必牢记. 注2 区间套定理中的闭区间若改为开区间, 那么结 论不一定成立. 例如对于开区间列 , 显然 即
O1. 90 16 20. +1 n-1.2 L 二-.ael- 0 0.2. limen2nRY0但是定理1中的口是不存在的，这是因为￥10I 0,E二-n=1Cno11ou1?按照定理1的读者可以反思一下，对于品n证明过程，哪一步通不过？巡回后页前页
前页 后页 返回 但是定理1中的 是不存在的, 这是因 为 证明过程, 哪一步通不过? 的
作为区间套定理的应用，下面来证明柯西收敛准则，即证明数列（α收敛的充要条件是：对任意的>0,存在N,当m,n>N时,有a,-am<e证（必要性）设lima,=A,由数列极限的定义，nR!对于任意正数e,存在N>0,m,n>N时,有Van-A<A.am-22因而有a,-am<a,- A+am-A<e后页巡回前页
前页 后页 返回 作为区间套定理的应用, 下面来证明柯西收敛准 则,即证明数列 {an } 收敛的充要条件是: 对任意的 证 (必要性) > 0, 存在 N
(充分性)由题设,对于任意e>0,存在 N,n3 N时a,-an<e.即当n>N时,a,i (an-e,ane),（注意：这并不能说明lima,=a~）nRYT]xan-eanan+e令e=l,存在N,nN,时,a,i (an-,an,+)2取[a,bl-lam-,an,t)l令e-,，存在-万巡回后页前页
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