河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十一章 无穷级数（11.2）常数项级数的审敛法

言等数课租妥媒课 北理工大理等>> 1 1+ )<1 P 即有界,则P-级数收敛 P-级数{二D>时,收敛 当p≤1时,发散 重要参考级数:几何级数,P级数,调和级数 H tt p:// www,heut.edu.cn

   n p x dx 1 1 ) 1 (1 1 1 1 1     p p n 1 1 1    p 即 有界, n s 则P  级数收敛.       当 时 发散 当 时 收敛 级数 1 , 1 , p p P 重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数. 结论

言等数课租妥媒课 北理工大理等>> 例2证明级数∑ 是发散的 n√n(n+1) 证明 > (n+1)n+ 而级数∑,发散, n 级数∑发散 H tt p:// www,heut.edu.cn

证明级数  1 (  1) 1 n n n 是发散的. 证明 , 1 1 ( 1) 1   n n  n  , 1 1 1   n n  而级数 发散 . ( 1) 1 1      n n n 级数 发散 例2

言等数课租妥媒课 北理工大理等>> 审做法的极限 设∑un与∑n都是正项级数如果lim"=l, n=1 H=1 则(1)当0<l<+时二级数有相同的敛散性; co oo (2)当1=0时,若∑v收敛则∑un收敛; n=1 ()当1=+∞时若∑”发散则∑un发散; n=1 n H tt p:// www,heut.edu.cn

设  n1 un 与  n1 n v 都是正项级数,如果 则(1) 当 时,二级数有相同的敛散性; (2) 当 时，若 收敛,则 收敛; (3) 当 时, 若  n1 n v 发散,则  n1 un 发散; lim l, v u n n n   0  l   l  0 l     n1 n v   n1 un 比较审敛法的极限形式

言等数课租妥媒课 北理工大理等>> 证明(1)由im=l对于E=>0, n→0 日N,当n>N时,-4<4n<l+ 2 2 3l v<u<v (n>N) 2 由比较审敛法的推论,得证 H tt p:// www,heut.edu.cn

证明 l v u n n n   (1)由lim 0, 2   l 对于  N , 当n  N时, 2 2 l l v l u l n n     ( ) 2 3 2 v n N l v u l 即 n  n  n  由比较审敛法的推论, 得证

言等数课租妥媒课 北理工大理等>> 设∑n为正项级数 H=1 如果 clim nu=l>0(或 Elim nu=∞), n→0 n→0 则级数∑n发散; n=1 如果有p>1,使得limn"un存在 则级数∑un收敛 n=1 H tt p:// www,heut.edu.cn

设  n1 un 为正项级数, 如果lim   0  nu l n n (或    n n lim nu ), 则级数  n1 un 发散; 如果有 p  1, 使得 n p n n u  lim 存在, 则级数  n1 un 收敛. 极限审敛法