例2改变积分 dDf(x,y)+(x,y)的次序 解积分区域如图 2 =√2x 原式=dy y f(x, y)dx
y = 2 − x 2 y = 2x − x 例 2 改变积分 − − + x x x dx f x y dy dx f x y dy 2 0 2 1 2 0 1 0 ( , ) ( , ) 2 的次序. 原式 − − − = 1 0 2 1 1 2 ( , ) y y dy f x y dx. 解 积分区域如图
例3改变积分2。f(x,y)(a>0) 的次序 解 J=√∠x y=√2mx-x→x=a±√a2-y 2 原式=d a-√a f(x, y)dx 2a e2a 2a 2a +l dy f(x,y)+」2f(x,y)h a+√a-y
例 3 改变积分 ( , ) ( 0) 2 0 2 2 2 − dx f x y dy a a ax ax x 的次序. y = 2ax 解 = a a− a − y a y dy f x y dx 0 2 2 2 原式 2 ( , ) + − + a a a a y dy f x y dx 0 2 2 2 ( , ) ( , ) . 2 2 2 2 + a a a a dy y f x y dx 2 y = 2ax − x 2 2 x = a a − y a 2a 2a a
例4求(x2+y),其中D是由抛物线 y=x2和x=y所围平面闭区域 解两曲线的交点 J x2 x=>(0,0),(1,1) ∫jx2+y)ddy=a(x2+y)d Ix2(x-x2)+(x-x)t33 140
例 4 求 + D (x y)dxdy 2 ，其中D 是由抛物线 2 y = x 和 2 x = y 所围平面闭区域. 解 两曲线的交点(0,0) , (1,1), 2 2 = = x y y x + D (x y)dxdy 2 = + 1 0 2 2 ( ) x x dx x y dy x x x (x x )]dx 2 1 [ ( ) 2 4 1 0 2 = − + − . 140 33 = 2 y = x 2 x = y 2 y = x 2 x = y
例5求∫xed,其中D是以(00,(x2 D (0,1)为顶点的三角形 解c无法用初等函数表示: 积分时必须考虑次序 x' dxdy=ldyxe dx 0.40.60.81 0 D 2 e 0 3
例5 求 − D y x e dxdy 2 2 ，其中 D 是以(0,0),(1,1), (0,1)为顶点的三角形. − e dy y 2 解 无法用初等函数表示 积分时必须考虑次序 − D y x e dxdy 2 2 − = y y dy x e dx 0 2 1 0 2 dy y e y = − 1 0 3 3 2 2 1 0 2 6 2 dy y e y = − ). 2 (1 6 1 e = −
例6计算积分I=dyed+ dyed ∫e不能用初等函数表示 先改变积分次序 原式==cd 0.20.40.60.81 Tx(e-e)dx 31 82
例 6 计算积分 = y x y I dy e dx 2 1 2 1 4 1 + y y x y dy e dx 1 2 1 . 解 e dx x y 不能用初等函数表示 先改变积分次序. 原式 = = x x x y I dx e dy 2 2 1 1 = − 1 2 1 x(e e )dx x . 2 1 8 3 = e − e 2 y = x y = x