1.2方阵的特征值和特征向量 定义6设A为n阶方阵若存在数和非零n维向量x, 使得4x=ax,则称λ为矩阵A的特征值 称x为矩阵A对应特征值的特征向量 也可写成(A-E)x=0 齐次线性方程组有非解解的充分必要条件是 A-E=0 左端为λ的n次多项式因此4的特征值就是该多项式的根, 记()=A-E,称为4特征多项式 则矩阵A的特征值即为其特征额式的根 上页 方程称为4的特征方程 下页
上页 下页 1.2 方阵的特征值和特征向量 0 ( ) 0 − = − = A E A E x 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 也可写成 . , , 6 , , 称 为矩阵 对应特征值 的特征向量 使 得 则 称 为矩阵 的特征值 定 义 设 为 阶方阵 若存在数 和非零 维向量 x A Ax x A A n n x = . , ( ) , , , , 方程称为 的特征方程 则矩阵 的特征值即为其特征多项式的根 记 称 为 的特征多项式 左端为 的 次多项式因 此 的特征值就是该多项式的 根 A A f A E A n A = −
特征方程在复数范围内有解其个数为方程的次数 (重根按重数计算,因此m阶方阵4有n个特征值 设=为其中的一个特征值则由方程 (A-E)x=0 可求得非零解=D1,那么P便是4的对应于 特征值的特征向量若为实数则p可取实向量 若为复数,则p为复向量) 上页 下页
上页 下页 ( ), . , 重根按重数计算 因 此 阶方阵 有 个特征值 特征方程在复数范围内恒有解 其个数为方程的次数 n A n , ) ( , , , ( ) 0 , 若 为复数 则 为复向量 特征值 的特征向量若 为实数 则 可取实向量 可求得非零解 那 么 便 是 的对应于 设 为其中的一个特征值则由方程 i i i i i i i i i p p x p P A A E x = − = =
例求/3 的特征值和特征向量 13 解A的特征方程为 3-元-1 (3-x)2-1=(4-x)(2-)=0 13-孔 所以4的特征值为=2,2=4 当年=2时-2/0 13-2八x 0 可得=x,所以对应的特征向量为= 1”页 下页
上页 下页 . 1 3 3 1 例 求 的特征值和特征向量 − − A = 2, 4. (3 ) 1 (4 )(2 ) 0 1 3 3 1 1 2 2 = = = − − = − − = − − − − 所 以 的特征值为 解 的特征方程为 A A ; 1 1 , 0 0 1 3 2 3 2 1 2 , 1 2 2 1 1 = = = − − − − = i x x p x x 可 得 所以对应的特征向量可取 为 当 时 由
3-4-1 0 当2=4时,由 13-4 1-1/x 即 解得x1=-x2,所以对应的特征向量哦为p2 显然若p是对应于特征值的特征向量 则k(k≠0)也是对应孔的特征向量 所以特征向量不能由特钲值唯一确定 反之,不同的特征值所对应的征向量绝不会相等 上页 也即一个特征向量只觚属于一个特征值 下页
上页 下页 , 1 1 , 0 0 1 1 1 1 0 0 1 3 4 3 4 1 4 , ` 1 2 2 2 1 2 1 2 − = − = = − − − − = − − − − = x x p x x x x 解 得 所以对应的特征向量可取 为 即 当 时 由 . , , , ( 0) , , , 也即一个特征向量只能属于一个特征值 反 之 不同的特征值所对应的特征向量绝不会相等 所以特征向量不能由特征值唯一确定 则 也是对应于 的特征向量 显 然 若 是对应于特征值 的特征向量 i i i i kp k p
460 例求矩阵A=-3-50的特征值和特征向量 3-6 解A的特征多项式为 4-元6 0 A-E=-3-5-40=-1-13(2+x) 3 61- A的特征值为1=22=1时,解方程A-E)x=0,由 4-160 120 A-E 33 5-10-→000 上页 60 000 下页
上页 下页 . 3 6 1 3 5 0 4 6 0 例 求矩阵 的特征值和特征向量 − − A = − − (1 ) (2 ) 3 6 1 3 5 0 4 6 0 2 = − − + − − − − − − − A− E = 解 A的特征多项式为 → − − − − − − − = = = − = 0 0 0 0 0 0 1 2 0 3 6 0 3 5 1 0 4 1 6 0 1 , ( ) 0, 1 2 A E A的特征值为 时 解方程 A E x 由