第十三节常系数线性微分 方程组解法举例 微分方程组 常系数线性微分方程组的解法 巴三、小结
一、微分方程组 微分方程组由几个微分方程联立而成的方程组 称为微分方程组 ■ 庄注意;这几个微分方程联立起来共同确定了几 ● 常系数线性微分方程组微分方程组中的每一个 牛微分方程都是常系数线性微分方程叫做常系数线 性微分方程组 上页
一、微分方程组 微分方程组 由几个微分方程联立而成的方程组 称为微分方程组． 注意：这几个微分方程联立起来共同确定了几 个具有同一自变量的函数． 常系数线性微分方程组 微分方程组中的每一个 微分方程都是常系数线性微分方程叫做常系数线 性微分方程组．
三、常系数线性微分方程组的解法 步骤: 王1.从方程组中消去一些未知函数及其各阶导 数,得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性 微分方程 工工工 2.解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知 函数 牛不必经过积分就可求出其余的未知函数 9 上页
步骤: １． 从方程组中消去一些未知函数及其各阶导 数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性 微分方程． 二、常系数线性微分方程组的解法 ２．解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知 函数. ３．把已求得的函数带入原方程组,一般说来， 不必经过积分就可求出其余的未知函数．
例1解微分方程组」3y-1x,(1) dz =2y-乙.(2) dx 解设法消去未知函数y,由2)式得 y az+i (3) 2(d dy d2z dz 两边求导得, d x 2 dx2 dx) (4) 把(3),(4)代入(1)式并化简,得 上页
例1 解微分方程组 = − = − 2 . (2) 3 2 , (1) y z dx dz y z dx dy 由(2)式得 (3) 2 1 = + z dx dz y 解 设法消去未知函数 y ， 两边求导得， , (4) 2 1 2 2 = + dx dz dx d z dx dy 把(3), (4)代入(1)式并化简, 得
dz dz 2-+z=0 d x dx 解之得通解x=C1+C2x)e,(5) 再把(5代入(3)式,得y=2(2C1+C2+2C2x)e.(6) 原方程组的通解为 工工工 y=(2C1+C2+2C2x)e 2 Z=(C1+C,x)e 上页
2 0 2 2 − + z = dx dz dx d z 解之得通解 ( ) , (5) 1 2 x z = C + C x e (2 2 ) . (6) 2 1 1 2 2 x 再把(5)代入(3)式, 得 y = C + C + C x e 原方程组的通解为 , ( ) (2 2 ) 2 1 1 2 1 2 2 = + = + + x x z C C x e y C C C x e