第五节利用柱面坐标和球面坐标 计算三重积分 利用柱面坐标计算三重积分 巴二、利用球面坐标计算三重积分 小结思考题
庄一、利用柱面坐标计算三重积分 设M(x,y,z)为空间内一点,并设点M在 xoy面上的投影P的极坐标为r,O,则这样的 A个数r,日,z就叫点M的柱面坐标 工工工 规定:0≤r<+0 M(x,y, z) 0≤e≤2π, 0<<+0 6 P(r,) 上页
0 r +, 0 2, − z +. 一、利用柱面坐标计算三重积分 个数 就叫点 的柱面坐标． 面上的投影 的极坐标为 ，则这样的三 设 为空间内一点，并设点 在 r z M xoy P r M x y z M , , , ( , , ) 规定： x y z o M(x, y,z) P(r, ) r • •
如图,三坐标面分别为 z r为常数→圆柱面 6为常数→半平面; Mx,y,z) cz为常数。→平面 柱面坐标与直角坐 标的关系为 8(, 0) x=rcos 6, y=sine, Z=Z 上页
= = = . sin , cos , z z y r x r 柱面坐标与直角坐 标的关系为 r 为常数 z 为常数 为常数 如图，三坐标面分别为 圆柱面； 半平面； 平 面． • M (x, y,z) P(r, ) • r z x y z o
如图,柱面坐标系 中的体积元素为 rde dv= rdrdedz ∫ f(, v, z)dxdydz J de ll f(rcos 8, rsin 0, z)rdrdedz. 上页
f (x, y,z)dxdydz ( cos , sin , ) . = f r r z rdrddz d r x y z o dz dr rd 如图，柱面坐标系 中的体积元素为 dv = rdrddz
例1计算Ⅰ=zz,其电2是球面 x2+y+z=4与抛物面x+y2=3z 所围的立体 x=rose 解由{p= rsin e,知交线为 Z= Z r2+z2=4 →z=1,r=3 2=3x 上页
例1 计算 I = zdxdydz，其中 是球面 4 2 2 2 x + y + z = 与抛物面x y 3z 2 2 + = 所围的立体. 解 由 = = = z z y r x r sin cos , = + = r z r z 3 4 2 2 2 z = 1, r = 3, 知交线为