例已知a1=(1,-1,0),a2=(1,0,1)’,a3=(1,-1,1) 是R的一个基试用 Schmidi正交化方法构造 R的一个正交规范基 解取B1=ax1=|-1 0 B2 IB,a, B1=0 IBu,B, 0 上页 下页
上页 下页 . , , (1, 1,0)', (1,0,1)', (1, 1,1)' 3 3 1 2 3 的一个正交规范基 是 的一个基 试 用 正交化方法构 造 例 已 知 R R Schmidt = − = = − , 0 1 1 1 1 解 取 = = − = − − = − = 0 1 1 1 2 1 1 0 1 [ , ] [ , ] 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2
B3 IBi,a3Io B2,a3I IB,B1 B2,B2 -1--1 3 0 再将B1,月2,月3单位化即得R的一个正交规范基 B1 2 B2 3 6 2 IB3 3 上页 下页
上页 下页 − − = − − − = − = − − 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 2 2 2 3 1 1 1 1 3 3 3 1 3 2 0 1 1 1 1 1 [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] , , , 0 , , , 3 1 3 1 3 1 3 3 3 6 2 6 1 6 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 3 1 2 3 − − = = = = = = − e e e 再 将 单位化 即 得R 的一个正交规范基
定义4如果n阶方阵满足AA=E(即A1=A) 就称A为正交矩阵 用A的列向量表示即是 19 E n 亦即a;'a;)=(61 由此得到2个关系式 ;= j=1,2,…,n 0,i≠j 上页 下页
上页 下页 , 1,2, , . 0, 1, 2 i j n i j i j n i j i j = = = = 由此得到 个关系式 ( ) ( ' ) ( ). , , , , , . 4 ' ( '), 1 2 2 1 1 i j i j n n A E A n A A E A A = = = = − 亦 即 用 的列向量表示即 是 就 称 为正交矩阵 定 义 如 果 阶方阵满足 即
说明方阵A4为正交矩阵的充分必緊件: A的列向量组构成R的正交规范基 注意到AA=E=AA, 所以上述结论对4的行向量组也成立 由正交矩阵定义不难得到下列性质 i)若A是正交矩阵则A2=1 (in)若A是正交矩阵则A,A也是正交矩阵 (i若A,B是m阶正交矩阵则AB也是正交矩阵 上页 下页
上页 下页 . : 的列向量组构成 的正交规范基 说明方阵 为正交矩阵的充分必要条 件 n A R A . ' ' , 所以上述结论对 的行向量组也成立 注意到 A A A = E = AA ( ) , , . ( ) , ', , ( ) , 1, , : 1 2 若 是 阶正交矩阵则 也是正交矩阵 若 是正交矩阵则 也是正交矩阵 若 是正交矩阵则 由正交矩阵定义不难得到下列性质 iii A B n A B i i A A A i A A − =
定义5若T是正交矩阵则线性变换 y=T称为正交变换 设y=Tx是正交变换则有 y=√yy=√xT"Tx=√xx=1|x 表明经正交变换向量帐度保持不变 这是正交变换的优良牲生之一 其实正交变换相当于厨时和旋转的叠合 cos0 sin e 例如T=( )为正交矩阵 in cos e 正交变换=T相当于旋转确角, 上页 再关于纵轴对称反射 下页
上页 下页 . , ) , cos sin sin cos ( , 再关于纵轴对称反射 正交变换 相当于旋转 角 例 如 为正交矩阵 其实正交变换相当于反射和旋转的叠合 y Tx T = − = . , ' ' ' ' , , 这是正交变换的优良特性之一 表明经正交变换向量的长度保持不变 设 是正交变换则 有 y y y x T Tx x x x y Tx = = = = = . 5 , 称为正交变换 定 义 若 是正交矩阵则线性变换 y Tx T =